ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить систему уравнений:

$\begin{cases} log_2 (y-x) - log_8 ( 3y - 5x) = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$.


Решение:


Первое уравнение системы можно переписать в виде

$log_8 (y-x)^3 = log_8 (3y - 5x)$.

Следствием данной системы является система

$\begin{cases} (y-x)^3 = 3y - 5x \\ 5 = x^2 + y^2 \end{cases}$

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно $x$ и $у$:

$5 (y-x)^3 = (3y - 5x)(x^2 + y^2)$.

Если $x \neq 0$, то разделим последнее уравнение почленно на $x^3$ и обозначим $\frac{y}{x} = u$. Получим уравнение относительно $u$:

$u^3 - 5u^2 + 6u = 0$,

которое имеет корни: $u_1 = 0, u_2 = 2, u_3 = 3$.

Если $u = 0$, то $y = 0$, а из второго уравнения исходной системы $x = \pm \sqrt 5$.

При подстановке в первое уравнение исходной системы $x = - \sqrt 5$ и $у = 0$ это уравнение удовлетворяется, а при $x = \sqrt 5$ и $y = 0$ уравнение не удовлетворяется. Если $u = 3$, то $у = 3x$, а потому $x^2 = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{1}{ \sqrt{2}}, y = \pm \frac{3}{ \sqrt{2}}$ ($x$ и $у$, в силу равенства $у = 3x$, имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будет $x = \frac{1}{ \sqrt{2}}, у = \frac{3}{ \sqrt{2}}$.

Если $u = 2$, то $у = 2x$. Из двух систем значений (-1, -2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Oсталось рассмотреть случай $x = 0$. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.
Ответ. $(- \sqrt{5}, 0); \left ( \frac{1}{ \sqrt{2}}, \frac{3}{ \sqrt {2}} \right ); (1, 2)$.