Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2434
2019-03-28 
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} x \cdot 2^{x-y+1} + 3y \cdot 2^{2x+y} = 2 \\ 2x \cdot 2^{2x+y} + 3y \cdot 8^{x+y} = 1 \end{cases}$.
Решение:
Второе уравнение можно записать в виде
$2^{x+2y} (x \cdot 2^{x - y + 1} + 3y \cdot 2^{2x+y}) = 1$
B силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому
$2^{x+2y+1} = 1$,
откуда
$x + 2y + 1 = 0$, т.е. $x = - 2y - 1$.
После подстановки в первое уравнение системы получим
$2^{-3y-3} = \frac{1}{-4-5y}$ или $2^{3(y+1)} = -(4+5y)$.
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства
$- (4+5y) > 0$, т. е. $y < - \frac{4}{5}$.
Рассмотрим следующие три случая.
а) $3(y+1) < 0$, т. е. $у < - 1$. B этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. $- (4 + 5y) < 1$, откуда $у > - 1$. Поскольку ограничения $у < - 1$ и $j > - 1$ несовместны, при сделанном предположении нет решений.
б) $3(у+1) > 0$, т.е. $y > - 1$. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому $у < - 1$. И на этот раз ограничения несовместны.
в) Остается посмотреть, что будет при $3 (y + 1) = 0$, т. е. $у = -1$. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению $у$ соответствует $x = 1$. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.
Ответ. (1, -1).
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} x \cdot 2^{x-y+1} + 3y \cdot 2^{2x+y} = 2 \\ 2x \cdot 2^{2x+y} + 3y \cdot 8^{x+y} = 1 \end{cases}$.
Решение:
Второе уравнение можно записать в виде
$2^{x+2y} (x \cdot 2^{x - y + 1} + 3y \cdot 2^{2x+y}) = 1$
B силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому
$2^{x+2y+1} = 1$,
откуда
$x + 2y + 1 = 0$, т.е. $x = - 2y - 1$.
После подстановки в первое уравнение системы получим
$2^{-3y-3} = \frac{1}{-4-5y}$ или $2^{3(y+1)} = -(4+5y)$.
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства
$- (4+5y) > 0$, т. е. $y < - \frac{4}{5}$.
Рассмотрим следующие три случая.
а) $3(y+1) < 0$, т. е. $у < - 1$. B этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. $- (4 + 5y) < 1$, откуда $у > - 1$. Поскольку ограничения $у < - 1$ и $j > - 1$ несовместны, при сделанном предположении нет решений.
б) $3(у+1) > 0$, т.е. $y > - 1$. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому $у < - 1$. И на этот раз ограничения несовместны.
в) Остается посмотреть, что будет при $3 (y + 1) = 0$, т. е. $у = -1$. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению $у$ соответствует $x = 1$. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.
Ответ. (1, -1).
