ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить систему уравнений:

$\begin{cases} x^{\sqrt [4]{x} + \sqrt {y}} = y^{ \frac{8}{3}} \\ y^{\sqrt [4]{x} + \sqrt {y}} = x^{ \frac{2}{3}} \end{cases}$.


Решение:


Из самого вида системы следует, что

$x > 0, y > 0$.

Из второго уравнения имеем

$x = y^{ \frac{3}{2} \left (\sqrt [4]{x} + \sqrt y \right )}$,

а после подстановки в первое

$y^{ \frac{3}{2} \left (\sqrt [4]{x} + \sqrt y \right )^2} = y^{ \frac{8}{3}}$.

Если $y \neq 1$ (случаи $y = 0$ и $y = -1$ уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

$(\sqrt [4]{x} + \sqrt y)^2 = \frac{16}{9}$,

т.е.

$\sqrt [4]{x} + \sqrt y = \frac{4}{3}$.

Подставляя в первое уравнение, найдем

$\sqrt{y} = \sqrt [4]{x}$.

Следовательно,

$\sqrt{y} = \sqrt [4]{x} = \frac{2}{3}$,

откуда получаем $x_1 = \frac{16}{81}, y_1 = \frac{4}{9}$. Проверкой убеждаемся, что это - решение исходной системы.
Остается проверить, что произойдет при $y = 1$. Легко видеть, что тогда и $x = 1$.
Ответ. $\left ( \frac{16}{81}, \frac{4}{9} \right ), (1,1)$.