Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2430
2019-03-28 
Найти неотрицательные решения системы уравнений $\begin{cases} x^y = y^x \\ 15^y = 3^x \end{cases}$.
Решение:
Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, $x$ и $у$ оба положительны.
Прологарифмируем оба уравнения:
$\begin{cases} y lg x = x lg y \\ y lg 15 = x lg 3 \end{cases}$.
Так как $x > 0$ и $у > 0$, то разделим первое уравнение на второе:
$\frac {lg x}{lg 15} = \frac {lg y}{lg 3}$, $lg x^{lg 3} = lg y^{lg 15}$,
а потому
$x^{lg 3} = y^{lg 15}$, $x = y^{ \frac{lg 15}{lg 3}} = y^{log_3 15}$.
Подставим найденное значение $x$ в первое из данных уравнений:
$y^{y log_6 15} = y^{y^{log_3 15}}$.
Если $у = 1$, то из первого уравнения системы получаем $x = 1$, что не удовлетворяет второму уравнению.
Так как значения $y = 0$ и $у = -1$ исключены, то остается
$y log_3 15 = y^{log_3 15}$, $y^{log_3 15 - 1} = log_3 15$.
Вспомнив, что $log_3 15 = 1 + log_3 5$, получим
$y^{log_3 5} = log_3 15$, т.е. $y = (log_3 15)^{log_5 3}$,
и найдем $x$.
Ответ. $x = (log_3 15)^{log_5 15}$, $y = (log_3 15)^{log_5 3}$.
Найти неотрицательные решения системы уравнений $\begin{cases} x^y = y^x \\ 15^y = 3^x \end{cases}$.
Решение:
Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, $x$ и $у$ оба положительны.
Прологарифмируем оба уравнения:
$\begin{cases} y lg x = x lg y \\ y lg 15 = x lg 3 \end{cases}$.
Так как $x > 0$ и $у > 0$, то разделим первое уравнение на второе:
$\frac {lg x}{lg 15} = \frac {lg y}{lg 3}$, $lg x^{lg 3} = lg y^{lg 15}$,
а потому
$x^{lg 3} = y^{lg 15}$, $x = y^{ \frac{lg 15}{lg 3}} = y^{log_3 15}$.
Подставим найденное значение $x$ в первое из данных уравнений:
$y^{y log_6 15} = y^{y^{log_3 15}}$.
Если $у = 1$, то из первого уравнения системы получаем $x = 1$, что не удовлетворяет второму уравнению.
Так как значения $y = 0$ и $у = -1$ исключены, то остается
$y log_3 15 = y^{log_3 15}$, $y^{log_3 15 - 1} = log_3 15$.
Вспомнив, что $log_3 15 = 1 + log_3 5$, получим
$y^{log_3 5} = log_3 15$, т.е. $y = (log_3 15)^{log_5 3}$,
и найдем $x$.
Ответ. $x = (log_3 15)^{log_5 15}$, $y = (log_3 15)^{log_5 3}$.
