Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 243
2014-06-07 
Средние линии равностороннего треугольника ABC делят его на четыре треугольника ADE, BDF, DEF и CEF, на сторонах которых отмечены середины К, L, М, N, О, Р, Q, R, S. Каждая из 15 полученных точек окрашена в один из двух цветов. Доказать, что найдутся 3 точки одного цвета, являющиеся вершинами равностороннего треугольника.
Решение:
Докажем более сильное утверждение: среди 10 точек А, D, Е, К, L, М, N, О, Р, Q, расположенных, как показано на рис, найдутся 3 точки одного цвета, являющиеся вершинами правильного треугольника. Пусть это не так. Тогда точку О без ограничения общности считаем черной, причем хотя бы одна из точек Р, E, L, скажем Р, также является черной. Далее, черной является хотя бы одна из точек Q, D, М, но точки Q и D обязаны быть белыми (они образуют правильные треугольники OPQ и OPD соответственно). Итак, точка М черная, а точки Q и D белые. Аналогично получаем, что точки Е и L также являются белыми (из треугольников ОМЕ и OML соответственно). Наконец, рассмотрев треугольники DEA, QLN и DLK, получим, что вершины правильного треугольника AKN являются черными. Из полученного противоречия вытекает справедливость требуемого утверждении.
Средние линии равностороннего треугольника ABC делят его на четыре треугольника ADE, BDF, DEF и CEF, на сторонах которых отмечены середины К, L, М, N, О, Р, Q, R, S. Каждая из 15 полученных точек окрашена в один из двух цветов. Доказать, что найдутся 3 точки одного цвета, являющиеся вершинами равностороннего треугольника.
Решение:
Докажем более сильное утверждение: среди 10 точек А, D, Е, К, L, М, N, О, Р, Q, расположенных, как показано на рис, найдутся 3 точки одного цвета, являющиеся вершинами правильного треугольника. Пусть это не так. Тогда точку О без ограничения общности считаем черной, причем хотя бы одна из точек Р, E, L, скажем Р, также является черной. Далее, черной является хотя бы одна из точек Q, D, М, но точки Q и D обязаны быть белыми (они образуют правильные треугольники OPQ и OPD соответственно). Итак, точка М черная, а точки Q и D белые. Аналогично получаем, что точки Е и L также являются белыми (из треугольников ОМЕ и OML соответственно). Наконец, рассмотрев треугольники DEA, QLN и DLK, получим, что вершины правильного треугольника AKN являются черными. Из полученного противоречия вытекает справедливость требуемого утверждении.
