ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение

$\sqrt {log_a \sqrt [4]{ax} + log_x \sqrt [4]{ax}} + \sqrt {log_a \sqrt [4]{ \frac{x}{a}} + log_x \sqrt [4]{ \frac{a}{x}}} = a$.

где $a> 0, a \neq 1$.


Решение:


Логарифмируя и заменяя $log_x a$ на $\frac{1}{log_a x}$, получим

$\sqrt { \frac{1}{4} (1+ log_a x) + \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{log_a x} + 1 \right ) } + \sqrt { \frac{1}{4} (log_a x - 1) + \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{log_a x} - 1 \right )} = a$,

т.е.

$\frac{1}{2 \sqrt {log_a x}} ( \sqrt {(log_a x + 1)^{2} } + \sqrt {(log_a x - 1)^2}) = a$.

Отсюда видно, что если $x$ удовлетворяет этому уравнению, то $log_a x > 0$, а потому $log_a x + 1 > 0$. Следовательно,

$\frac{1}{2 \sqrt {log_a x}} (log_a x + 1 + |log_a x - 1|) = a$.

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, $a$. Так как

$\frac {log_a x + 1}{2 \sqrt {log_a x}} = \frac{1}{2} \left ( \sqrt {log_a x} + \frac{1}{ \sqrt {log_a x}} \right ) \geq 1$,

а второе слагаемое неотрицательно, то $а > 1$ (значение $a = 1$ мы исключили, так как $a$ - основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.
При $log_a x \geq 1$, т. е. при $x \geq a > 1$, получим уравнение

$\sqrt {log_a x} = a, x = a^{a^2}$.

Так как $a > 1$, то $x > a$.

При $0 < log_a x < 1$, т. е. при $x < a$, получим второе значение неизвестного:

$x = a^{ \frac{1}{a^2}}$,

которое будет меньше $a$, так как $a > 1$.
Ответ. При $a > 1 x_1 = a^{a^2}, x_2 = a^{ \frac{1}{a^2}}$.