Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2428
2019-03-28 
Решить уравнение
$a^{log_{\sqrt {b}}x} - 5x^{log_b a} + 6 = 0$.
Решение:
Преобразуем первое слагаемое:
$a^{log{\sqrt{b}} x} = a^{2 log_b x} = a^{2 \frac {log_a x}{log_a b}} = (a^{log_a x})^{2 log_b a} = x^{2 log_b a}$.
При переходе к логарифмам с основанием $а$ мы наложили на $а$ дополнительное ограничение: $а \neq 1$. Однако при $а = 1$ данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене $a^{log_a x}$ на $x$ могут быть введены посторонние корни $x < 0$.
Мы получили уравнение относительно $y = x^{log_b a}$:
$y^2 - 5y + 6 = 0$; $y_1 = 2, y_2 = 3$,
откуда
$x_1 = 2^{log_a b}$, $x_2 = 3^{log_a b}$, где $b \neq 1$.
Ответ. При $а > 0, b > 0$, $a \neq 1, b \neq 1$, $x_1 = 2^{log_a b}$, $x_2 = 3^{log_a b}$.
Решить уравнение
$a^{log_{\sqrt {b}}x} - 5x^{log_b a} + 6 = 0$.
Решение:
Преобразуем первое слагаемое:
$a^{log{\sqrt{b}} x} = a^{2 log_b x} = a^{2 \frac {log_a x}{log_a b}} = (a^{log_a x})^{2 log_b a} = x^{2 log_b a}$.
При переходе к логарифмам с основанием $а$ мы наложили на $а$ дополнительное ограничение: $а \neq 1$. Однако при $а = 1$ данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене $a^{log_a x}$ на $x$ могут быть введены посторонние корни $x < 0$.
Мы получили уравнение относительно $y = x^{log_b a}$:
$y^2 - 5y + 6 = 0$; $y_1 = 2, y_2 = 3$,
откуда
$x_1 = 2^{log_a b}$, $x_2 = 3^{log_a b}$, где $b \neq 1$.
Ответ. При $а > 0, b > 0$, $a \neq 1, b \neq 1$, $x_1 = 2^{log_a b}$, $x_2 = 3^{log_a b}$.
