ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение

$\frac {lg |x^4 + 2x^3 + 2x - 1|}{lg |x^2 + x - 1|} = 2$.


Решение:


Уравнение равносильно системе

$\begin{cases} lg |x^4 + 2x^3 + 2x - 1| = 2 lg |x^2 + x - 1| \\ |x^2 + x - 1| \neq 1 \end{cases}$,

или

$\begin{cases} |x^4 + 2x^3 + 2x - 1| = |x^2 + x - 1|^2 \\ |x^2 + x - 1| \neq 1 \\ x^2 + x - 1 \neq 0 \end{cases}$.

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

$x^4 + 2x^3 + 2x - 1 = (x^2 +x -1)^2$,

то, раскрывая скобки, получим

$x^2 + 4x - 2 = 0, x_{1,2} = -2 \pm \sqrt {6}$.

Если же

$x^2 + 2x^3 + 2x - 1 = - (x^2 + x - 1)^2$,

то

$x^2 (2x^2 + 4x - 1) = 0$; $x_3 = 0$, $x_{4,5} = \frac {-2 \pm \sqrt {6}}{2}$.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при $x = 0$ нарушается условие $|x^2 + x - 1| \neq 1$. При остальных найденных значениях $x$ оба условия выполняются.
Ответ. $x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{6}$; $x_{3,4} = \frac {-2 \pm \sqrt{6}}{2}$.