Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2425
2019-03-27 
Решить уравнение
$log_{0,5 x} x^2 - 14 log_{16x} x^3 + 40 log_{4x} \sqrt {x} = 0$.
Решение:
Перепишем данное уравнение так:
$\frac{1}{log_x 0,5 x} - \frac{21}{log_x 16x} + \frac{10}{log_x 4x} = 0$.
При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при $x = 1$ левая часть полученного уравнени теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемс, что $x = 1$ - корень данного уравнения.
Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим $log_x 2 = y$:
$\frac{1}{1-y} - \frac{21}{4y + 1} + \frac{10}{2y+1} = 0$.
Это уравнение равносильно системе
$\begin{cases} 2y^2 + 3y - 2 = 0 \\ (1-y)(4y+1)(2y+1) \neq 0 \end{cases}$.
При $y = -2$ и $y = \frac{1}{2}$, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.
Ответ. $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}}, x_3 = 4$.
Решить уравнение
$log_{0,5 x} x^2 - 14 log_{16x} x^3 + 40 log_{4x} \sqrt {x} = 0$.
Решение:
Перепишем данное уравнение так:
$\frac{1}{log_x 0,5 x} - \frac{21}{log_x 16x} + \frac{10}{log_x 4x} = 0$.
При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при $x = 1$ левая часть полученного уравнени теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемс, что $x = 1$ - корень данного уравнения.
Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим $log_x 2 = y$:
$\frac{1}{1-y} - \frac{21}{4y + 1} + \frac{10}{2y+1} = 0$.
Это уравнение равносильно системе
$\begin{cases} 2y^2 + 3y - 2 = 0 \\ (1-y)(4y+1)(2y+1) \neq 0 \end{cases}$.
При $y = -2$ и $y = \frac{1}{2}$, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.
Ответ. $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}}, x_3 = 4$.
