Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2421
2019-03-27 
Решить уравнение
$- log_{ \frac{1}{7}} x + log_{ \frac{1}{ \sqrt {x}} } \frac{1}{\sqrt {7}} = log_{ \frac{1}{7}}^2 \frac{1}{x} + log_x^2 7 - \frac{7}{4}$.
Решение:
Перепишем уравнение в виде
$log_7 x + log_x 7 = log_7^2 7 - \frac{7}{4}$.
Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что $log_7 x + log_x 7 = 1$) и обозначим
$log_7 x + log_x 7 = y$
Получим уравнение:
$4y^2 - 4y - 15 = 0$, откуда $y_1 = \frac{5}{2}, y_2 = - \frac{3}{2}$.
Если $log_x 7 + log_7 x = \frac{5}{2}$, то
$2 log_x^2 7 - 5 log_x 7 + 2 = 0, log_x 7 = \frac{5 \pm 3}{4}; x_1 = 49, x_2 = \sqrt{7}$.
Если же $log_x 7 + log_7 x = - \frac{3}{2}$, то получим уравнение
$2 log_x^2 7 + 3 log_x 7 + 2 = 0$,
у которого нет действительных корней.
Ответ. $x_1 = 49, x_2 = \sqrt{7}$.
Решить уравнение
$- log_{ \frac{1}{7}} x + log_{ \frac{1}{ \sqrt {x}} } \frac{1}{\sqrt {7}} = log_{ \frac{1}{7}}^2 \frac{1}{x} + log_x^2 7 - \frac{7}{4}$.
Решение:
Перепишем уравнение в виде
$log_7 x + log_x 7 = log_7^2 7 - \frac{7}{4}$.
Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что $log_7 x + log_x 7 = 1$) и обозначим
$log_7 x + log_x 7 = y$
Получим уравнение:
$4y^2 - 4y - 15 = 0$, откуда $y_1 = \frac{5}{2}, y_2 = - \frac{3}{2}$.
Если $log_x 7 + log_7 x = \frac{5}{2}$, то
$2 log_x^2 7 - 5 log_x 7 + 2 = 0, log_x 7 = \frac{5 \pm 3}{4}; x_1 = 49, x_2 = \sqrt{7}$.
Если же $log_x 7 + log_7 x = - \frac{3}{2}$, то получим уравнение
$2 log_x^2 7 + 3 log_x 7 + 2 = 0$,
у которого нет действительных корней.
Ответ. $x_1 = 49, x_2 = \sqrt{7}$.
