Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2418
2019-03-27 
Решить уравнение
$(\sqrt {2 + \sqrt {3}})^x + (\sqrt {2 - \sqrt {3}})^x = 2^x$.
Решение:
Перепишем уравнение так:
$\left ( \frac {\sqrt {2 + \sqrt {3}}}{2} \right )^x + \left (\frac {\sqrt {2 - \sqrt {3}}}{2} \right )^x = 1$.
Cразу же видно, что $x=2$ - корень уравнения. Покажем, что других корней нет.
Обозначим для удобства первое основание через $а$, а второе через $b$, Оба эти основания меньше единицы. Поэтому
$b < a < 1$;
если $x < 2$, то $a^x > a^2$, $b^x > b^2$, и следовательно,
$a^x + b^x > 1$;
если же $x > 2$, то $a^x < a^2, b^x < b^2$, и следовательно,
$a^x + b^x < 1$.
Ответ. $x = 2$.
Решить уравнение
$(\sqrt {2 + \sqrt {3}})^x + (\sqrt {2 - \sqrt {3}})^x = 2^x$.
Решение:
Перепишем уравнение так:
$\left ( \frac {\sqrt {2 + \sqrt {3}}}{2} \right )^x + \left (\frac {\sqrt {2 - \sqrt {3}}}{2} \right )^x = 1$.
Cразу же видно, что $x=2$ - корень уравнения. Покажем, что других корней нет.
Обозначим для удобства первое основание через $а$, а второе через $b$, Оба эти основания меньше единицы. Поэтому
$b < a < 1$;
если $x < 2$, то $a^x > a^2$, $b^x > b^2$, и следовательно,
$a^x + b^x > 1$;
если же $x > 2$, то $a^x < a^2, b^x < b^2$, и следовательно,
$a^x + b^x < 1$.
Ответ. $x = 2$.
