ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-27   
Решить уравнение

$(2 + \sqrt {3})^{x^2 - 2x + 1} + (2 - \sqrt {3})^{x^2-2x-1} = \frac {101}{10 (2 - \sqrt {3})}$.


Решение:


Так как $(2 + \sqrt 3)(2- \sqrt 3) = 1$, то $2 + \sqrt 3$ и $2 - \sqrt 3$ - взаимно обратные числа. Обозначим

$(2+ \sqrt {3})^{x^2 - 2x} = y$.

Тогда данное уравнение можно записать так:

$y + \frac{1}{y} = \frac{101}{10}$

(мы разделили обе части уравнения на $2 + \sqrt {3}$.
Решая это уравнение, найдем

$y_1 = \frac{1}{10}, y_2 = 10$.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

$(2 + \sqrt 3)^{x^2-2x} = \frac{1}{10}$

посторонний.
Так как $2+ \sqrt{3} > 1$, то $x^2 - 2x < 0$. Выражение $x^2-2x$ достигает своего минимума в точке $x = 1$. Этот минимум равен - 1. Поскольку $2 + \sqrt{3} < 4$, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее $\frac{1}{4}$, а следовательно, ни при каких $x$ не равное $\frac{1}{10}$.

Остается решить уравнение

$(2+ \sqrt{3})^{x^2-2x} = 10$.

Прологарифмируем его по основанию $2 + \sqrt{3}$:

$x^2 - 2x - log_{2+\sqrt{3}} 10 = 0$.
Ответ. $x = 1 \pm \sqrt {1 + \frac {1}{lg (2 + \sqrt 3)}}$.