Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2414
2019-03-27 
Для каждого действительного числа $a$ решить уравнение $9^{-|x-2|} - 4 \cdot 3^{-|x-2|} - a = 0$.
Решение:
Обозначив $3^{-|x-2|} = y$, придем к квадратному уравнению
$y^2 - 4y - a = 0$,
корни которого $y_{1,2} = 2 \pm \sqrt {4+a}$.
Первый корень $у_1 = 2 + \sqrt {4+a}$ приходится отбросить, так как $- |x-2| \leq 0$ и $3^{-|x-2|} \leq 1$, а $2 + \sqrt {4+a}$ не может стать меньше двух.
Исследуем второй корень:
$3^{-|x-2|} = 2 - \sqrt {4+a}$.
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:
$\begin{cases} 4+a \geq 0 \\ 2 - \sqrt {4+a} > 0 \\ 2 - \sqrt {4+a} \leq 1 \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $-3 \leq а < 0$.
Ответ. При $-3 \leq а < 0$ два решения:
$x_{1,2} = 2 \pm log_3 (2 - \sqrt {4 + a})$,
при остальных $а$ решений нет.
Для каждого действительного числа $a$ решить уравнение $9^{-|x-2|} - 4 \cdot 3^{-|x-2|} - a = 0$.
Решение:
Обозначив $3^{-|x-2|} = y$, придем к квадратному уравнению
$y^2 - 4y - a = 0$,
корни которого $y_{1,2} = 2 \pm \sqrt {4+a}$.
Первый корень $у_1 = 2 + \sqrt {4+a}$ приходится отбросить, так как $- |x-2| \leq 0$ и $3^{-|x-2|} \leq 1$, а $2 + \sqrt {4+a}$ не может стать меньше двух.
Исследуем второй корень:
$3^{-|x-2|} = 2 - \sqrt {4+a}$.
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:
$\begin{cases} 4+a \geq 0 \\ 2 - \sqrt {4+a} > 0 \\ 2 - \sqrt {4+a} \leq 1 \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $-3 \leq а < 0$.
Ответ. При $-3 \leq а < 0$ два решения:
$x_{1,2} = 2 \pm log_3 (2 - \sqrt {4 + a})$,
при остальных $а$ решений нет.
