Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 241
2014-06-07 
На окружности, вписанной в правильный 2n-угольник, взяты точки А и В. Доказать, что если диагонали, соединяющие противоположные вершины 2n-угольника, видны из точки А под углами $\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{n}$, а из точки В под углами $\beta_{1}, \cdots , \beta_{n}$ соответственно, то
$tg^{2} \: \alpha_{1} + \cdots + tg^{2} \: \alpha_{n} = tg^{2} \: \beta_{1} + \cdots + tg^{2} \: \beta_{n}$.
Решение:
Пусть точка О - центр правильного 2n-угольника $C_{0}C_{1} \cdots C_{2n-1}$, а $R$ - радиус описанной около него окружности. Возьмем произвольную точку А на расстоянии г $r \neq R$ от точки О и обозначим
$\alpha_{k} = \angle C_{k}AC_{k+n}, \gamma_{k} = \angle AOC_{k}$
при $k = 0, 1, \cdots, n -1$. Тогда по теореме косинусов имеем (рис.)
$AC_{k}^{2} = R^{2} + r^{2} – Rr \cos \gamma_{k}$,
$AC_{k+n}^{2} = R^{2} + r^{2} + Rr \cos \gamma_{k}$,
$\cos \alpha_{k} = \frac{AC^{2}_{k} + AC^{2}_{k+n} – C_{k}C_{k+n}^{2}}{2 \cdot AC_{k} \cdot AC_{k+n}} = \frac{r^{2}-R^{2}}{\sqrt{(R^{2}+r^{2})^{2}} – 4 R^{2}r^{2} \cos^{2} \gamma_{k}}$,
откуда получаем
$tg^{2} \: \alpha_{k}= \frac{1}{\cos^{2} \alpha_{k}} – 1 = \frac{1}{(R^{2}-r^{2})^{2}} ((R^{2} + r^{2})^{2} – (R^{2}-r^{2})^{2} -$
$- 4 R^{2}r^{2} \cos^{2} \gamma_{k} = \frac{4R^{2}r^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}} \sin^{2} \gamma_{k}$
Без ограничения общности можно считать, что
$\gamma_{k}= \gamma_{0} + k \pi /n$
(при этом, возможно, потребуется лишь перенумеровать вершины исходного 2n-угольника в другом порядке). Поэтому имеем
$\sum_{n-1}^{k=0} tg \: \alpha_{k} = \frac{2R^{2}r^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}} \sum_{n-1}^{k=0} (1 - \cos 2 \gamma_{k}) = \frac{2R^{2}r^{2}n}{(R^{2}-r^{2})^{2}}$,
ибо $\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 \gamma_{k} = 0$. Для доказательства последнего равенства рассмотрим векторы $d_{k}$ единичной длины с координатами
$(\sin 2 \gamma_{k}; \cos 2 \gamma_{k})$ при $k =0, 1, \cdots , n-1$
и заметим, что углы между векторами $\mathbf{d_{k}}$ и $\mathbf{d_{k+1}} (\mathbf{d_{n}} = \mathbf{d_{0}}$) равны $2 \pi /n$. Следовательно, существует правильный n-угольник $D_{0}D_{1} \cdots D_{n-1}$, для которого
$\overrightarrow{D_{k}D_{k+1}} = \mathbf{d_{k}} (D_{n} = D_{0})$,
а значит, сумма векторов $\mathbf{d_{0}},\mathbf{d_{1}}, \cdots , \mathbf{d_{k}}$, равно как и сумма их проекций на любую ось, равна 0. Итак, доказано, что для любых точек А и В, удаленных от точки О на расстояние, не равное $R$, рассматриваемая сумма одинакова, откуда вытекает утверждение задачи (ибо радиусы вписанной и описанной окружностей не совпадают).
На окружности, вписанной в правильный 2n-угольник, взяты точки А и В. Доказать, что если диагонали, соединяющие противоположные вершины 2n-угольника, видны из точки А под углами $\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{n}$, а из точки В под углами $\beta_{1}, \cdots , \beta_{n}$ соответственно, то
$tg^{2} \: \alpha_{1} + \cdots + tg^{2} \: \alpha_{n} = tg^{2} \: \beta_{1} + \cdots + tg^{2} \: \beta_{n}$.
Решение:
Пусть точка О - центр правильного 2n-угольника $C_{0}C_{1} \cdots C_{2n-1}$, а $R$ - радиус описанной около него окружности. Возьмем произвольную точку А на расстоянии г $r \neq R$ от точки О и обозначим
$\alpha_{k} = \angle C_{k}AC_{k+n}, \gamma_{k} = \angle AOC_{k}$
при $k = 0, 1, \cdots, n -1$. Тогда по теореме косинусов имеем (рис.)
$AC_{k}^{2} = R^{2} + r^{2} – Rr \cos \gamma_{k}$,
$AC_{k+n}^{2} = R^{2} + r^{2} + Rr \cos \gamma_{k}$,
$\cos \alpha_{k} = \frac{AC^{2}_{k} + AC^{2}_{k+n} – C_{k}C_{k+n}^{2}}{2 \cdot AC_{k} \cdot AC_{k+n}} = \frac{r^{2}-R^{2}}{\sqrt{(R^{2}+r^{2})^{2}} – 4 R^{2}r^{2} \cos^{2} \gamma_{k}}$,
откуда получаем
$tg^{2} \: \alpha_{k}= \frac{1}{\cos^{2} \alpha_{k}} – 1 = \frac{1}{(R^{2}-r^{2})^{2}} ((R^{2} + r^{2})^{2} – (R^{2}-r^{2})^{2} -$
$- 4 R^{2}r^{2} \cos^{2} \gamma_{k} = \frac{4R^{2}r^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}} \sin^{2} \gamma_{k}$
Без ограничения общности можно считать, что
$\gamma_{k}= \gamma_{0} + k \pi /n$
(при этом, возможно, потребуется лишь перенумеровать вершины исходного 2n-угольника в другом порядке). Поэтому имеем
$\sum_{n-1}^{k=0} tg \: \alpha_{k} = \frac{2R^{2}r^{2}}{(R^{2}-r^{2})^{2}} \sum_{n-1}^{k=0} (1 - \cos 2 \gamma_{k}) = \frac{2R^{2}r^{2}n}{(R^{2}-r^{2})^{2}}$,
ибо $\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 \gamma_{k} = 0$. Для доказательства последнего равенства рассмотрим векторы $d_{k}$ единичной длины с координатами
$(\sin 2 \gamma_{k}; \cos 2 \gamma_{k})$ при $k =0, 1, \cdots , n-1$
и заметим, что углы между векторами $\mathbf{d_{k}}$ и $\mathbf{d_{k+1}} (\mathbf{d_{n}} = \mathbf{d_{0}}$) равны $2 \pi /n$. Следовательно, существует правильный n-угольник $D_{0}D_{1} \cdots D_{n-1}$, для которого
$\overrightarrow{D_{k}D_{k+1}} = \mathbf{d_{k}} (D_{n} = D_{0})$,
а значит, сумма векторов $\mathbf{d_{0}},\mathbf{d_{1}}, \cdots , \mathbf{d_{k}}$, равно как и сумма их проекций на любую ось, равна 0. Итак, доказано, что для любых точек А и В, удаленных от точки О на расстояние, не равное $R$, рассматриваемая сумма одинакова, откуда вытекает утверждение задачи (ибо радиусы вписанной и описанной окружностей не совпадают).
