Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2408
2019-03-27 
Решить неравенство $log_{x^2 - 1} {3x - 1} < log_{x^2 - 1} {x^2}$.
Решение:
Если $0 < x^2 -1 < 1$, то придем к системе
$\begin{cases} 0 < x^2 - 1 < 1 \\ 3x - 1 > x^2 \\ x^2 > 0 \end{cases}$.
Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:
$\begin{cases} 1 < x^2 < 2 \\ x^2 - 3x + 1 < 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} 1 < |x| < \sqrt {2} \\ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt {5}}{2} \end{cases}$,
откуда $1 < x < \sqrt{2}$.
Если $x^2-1 > 1$, т. е. $x^2 > 2$, то приходим ко второй системе:
$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$, или $\begin{cases} x , - \sqrt{2}, x > \sqrt{2} \\ x < \frac{3 - \sqrt {5}}{2}, x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$,
откуда $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Ответ. $1 < x < \sqrt 2, x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Решить неравенство $log_{x^2 - 1} {3x - 1} < log_{x^2 - 1} {x^2}$.
Решение:
Если $0 < x^2 -1 < 1$, то придем к системе
$\begin{cases} 0 < x^2 - 1 < 1 \\ 3x - 1 > x^2 \\ x^2 > 0 \end{cases}$.
Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:
$\begin{cases} 1 < x^2 < 2 \\ x^2 - 3x + 1 < 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} 1 < |x| < \sqrt {2} \\ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt {5}}{2} \end{cases}$,
откуда $1 < x < \sqrt{2}$.
Если $x^2-1 > 1$, т. е. $x^2 > 2$, то приходим ко второй системе:
$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$, или $\begin{cases} x , - \sqrt{2}, x > \sqrt{2} \\ x < \frac{3 - \sqrt {5}}{2}, x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$,
откуда $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Ответ. $1 < x < \sqrt 2, x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
