ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-27   
Решить неравенство $log_2 {log_3 {\frac {x+1}{x-1}}} < log_{1/2} {log_{1/3} {\frac {x-1}{x+1}}}$.


Решение:


Так как $log_{1/a} x = - log_a x$, то перепишем неравенство следующим образом:

$log_2 log_3 { \frac {x+1}{x-1}} < - log_2 \left (log_3 {\frac {x+1}{x-1}} \right )$.

Обозначив $log_3 {\frac {x+1}{x-1}} = y$, получим

$log_2 y < 0$,

откуда

$0 < y < 1$,

т.е.

$0 < log_{3} \frac{x + 1}{x - 1} < 1$,

а потому

$1 < \frac {x+1}{x-1} < 3$.

Последнее неравенство можно записать так:

$\left ( \frac {x+1}{x-1} - 1 \right ) \left (\frac {x+1}{x-1} - 3 \right ) < 0$

(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).
После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим

$\frac {x-2}{(x-1)^2} > 0$,

откуда $x > 2$.
Ответ. $x > 2$.