ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-27   
Решить неравенство $log_x {2x} \leq \sqrt {log_x {2x^3}}$.


Решение:


Перейдем в обеих частях неравенства к основанию 2:

$\frac {log_2 2x}{log_2 x} \leq \sqrt {\frac {log_2 (2x^3)}{log_2 x}}$, т.е. $\frac{1+y}{y} \leq \sqrt { \frac{1+3y}{y}}$,

где $y = log_2 x$. Чтобы решить последнее неравенство, рассмотрим два случая. Если $(1+y)/y < 0$, то достаточно, чтобы подкоренное выражение не было отрицательным. Приходим к системе

$\begin{cases} \frac{1+y}{y} < 0 \\ \frac{1+3y}{y} \geq 0 \end{cases}$; $\begin{cases} -1 < y < 0 \\ y \leq - \frac{1}{3}, y \geq 0, -1 < y \leq - \frac{1}{3} \end{cases}$.

Если $\frac{1+y}{y} \geq 0$, то иррациональное неравенство относительно $у$ нужно возвести в квадрат:

$\begin{cases} \frac{1+y}{y} \geq 0 \\ \left ( \frac {1+y}{y} \right )^2 \leq \frac{1+3y}{y} \end{cases}$;
$\begin{cases} y \leq -1, y > 0 \\ \frac {2y^2 - y - 1}{y^2} \geq 0 \end{cases}$.

Решения последней системы лежат в интервалах

$y \leq -1, y \geq 1$.

Таким образом, мы получаем три интервала изменения $у$:

$y \leq -1, -1 < y \leq - \frac{1}{3}, y \geq 1$,

которые объединяются в два: $y \leq - \frac{1}{3}, y \geq 1$.

Вспоминая, что $у = log_2 x$, найдем интервалы изменения $х$.
Ответ. $0 < x \leq \frac{1}{ \sqrt [3]{2}}, x \geq 2$.