Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 240
2014-06-07 
Найти число сторон правильного многоугольника, если для четырех его последовательных вершин А, В, С, D выполнено равенство
$\frac{1}{AB}= \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}$
Решение:
Пусть около многоугольника описана окружность с центром О и радиусом $R$ (рис.). Обозначим $\alpha = \angle AOB$, тогда $0 < \alpha < 120^{\circ}$ и
$AB = 2R \sin (\alpha /2), AC=2R \sin \alpha, AD = 2R \sin(3 \alpha/2)$,
откуда имеем
$\frac{1}{\sin (\alpha / 2)} = \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin (3 \alpha /2)}$,
Следовательно, получаем
$ 0 = \sin \alpha \sin \frac{3 \alpha}{2} - \left ( \sin \alpha + \sin \frac{3 \alpha}{2} \right ) \times \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \left ( \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{5 \alpha}{2} \right ) - \frac{1}{2} \left (\cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{3 \alpha}{2} \right ) - \frac{1}{2} (\cos \alpha - \cos 2 \alpha) = \frac{1}{2} \left ( \left (\cos \frac{3 \alpha}{2}+\cos 2 \alpha \right ) - \left ( \cos \alpha + \cos \frac{5 \alpha}{2} \right ) \right ) = \cos \frac{7 \alpha}{4} \left (\cos \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{3 \alpha}{4} \right ) = 2 \cos \frac{7 \alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{4} \sin \frac{\alpha}{2}$
откуда
$7 \alpha /4=90^{\circ}$ и $\alpha = 360^{\circ}/7$,
т. е. исходный многоугольник имеет семь сторон.
Найти число сторон правильного многоугольника, если для четырех его последовательных вершин А, В, С, D выполнено равенство
$\frac{1}{AB}= \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}$
Решение:
Пусть около многоугольника описана окружность с центром О и радиусом $R$ (рис.). Обозначим $\alpha = \angle AOB$, тогда $0 < \alpha < 120^{\circ}$ и
$AB = 2R \sin (\alpha /2), AC=2R \sin \alpha, AD = 2R \sin(3 \alpha/2)$,
откуда имеем
$\frac{1}{\sin (\alpha / 2)} = \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin (3 \alpha /2)}$,
Следовательно, получаем
$ 0 = \sin \alpha \sin \frac{3 \alpha}{2} - \left ( \sin \alpha + \sin \frac{3 \alpha}{2} \right ) \times \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \left ( \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{5 \alpha}{2} \right ) - \frac{1}{2} \left (\cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{3 \alpha}{2} \right ) - \frac{1}{2} (\cos \alpha - \cos 2 \alpha) = \frac{1}{2} \left ( \left (\cos \frac{3 \alpha}{2}+\cos 2 \alpha \right ) - \left ( \cos \alpha + \cos \frac{5 \alpha}{2} \right ) \right ) = \cos \frac{7 \alpha}{4} \left (\cos \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{3 \alpha}{4} \right ) = 2 \cos \frac{7 \alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{4} \sin \frac{\alpha}{2}$
откуда
$7 \alpha /4=90^{\circ}$ и $\alpha = 360^{\circ}/7$,
т. е. исходный многоугольник имеет семь сторон.
