Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2397
2019-03-25 
Решить неравенство
$lg { \left |\frac {x-1}{2x+1} \right |} < 0$.
Решение:
Данное неравенство равносильно системе
$0 < \left | \frac {x-1}{2x+1} \right | < 1$.
Tем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием $x \ neq 1$. Тогда получим систему
$\begin{cases} \left | \frac {x-1}{2x+1} \right | < 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
Эту систему можно преобразовать так:
$\begin{cases} |x-1| < |2x+1| \\ x \neq -1/2 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
Bходящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:
$(x-1)^2 < (2x+1)^2$,
т. е. $3x^2 + 6x > 0$, откуда $x < -2, x > 0$. Итак,
$\begin{cases} x < -2, x > 0 \\ x \neq - \frac{1}{2} \\ x \neq 1 \end{cases}$
Ответ. $x < -2, 0 < x < 1, x > 1$.
Решить неравенство
$lg { \left |\frac {x-1}{2x+1} \right |} < 0$.
Решение:
Данное неравенство равносильно системе
$0 < \left | \frac {x-1}{2x+1} \right | < 1$.
Tем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием $x \ neq 1$. Тогда получим систему
$\begin{cases} \left | \frac {x-1}{2x+1} \right | < 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
Эту систему можно преобразовать так:
$\begin{cases} |x-1| < |2x+1| \\ x \neq -1/2 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
Bходящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:
$(x-1)^2 < (2x+1)^2$,
т. е. $3x^2 + 6x > 0$, откуда $x < -2, x > 0$. Итак,
$\begin{cases} x < -2, x > 0 \\ x \neq - \frac{1}{2} \\ x \neq 1 \end{cases}$
Ответ. $x < -2, 0 < x < 1, x > 1$.
