Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2394
2019-03-25 
Решить неравенство $x^{log_a (x+1)} > a^2x$.
Решение:
Так как $x > 0$, то вместо неравенства
$x \cdot x^{log_a x} > a^2x$
можно написать
$x^{log_a x} > a^2$.
Если $а > 1$, то при логарифмировании по основанию $а$ знак неравенства не изменится:
$(log_a x)^2 > 2$,
откуда $log_a x < - \sqrt {2}$, $log_a x > \sqrt {2}$ т. е. $0 < x < \frac {1}{a^{\sqrt{2}}}$, $x > a^{\sqrt {2}}$.
Если $0 < а < 1$, то
$(log_a x)^2 < 2$
и
$- \sqrt {2} < log_a x < \sqrt {2}$,
т.е.
$a^{\sqrt {2}} < x < \frac {1}{a^{\sqrt {2}}}$.
Ответ. При $0 < а < 1$, $a^{\sqrt {2}} < x < a^ \frac {1}{\sqrt {2}}$; при $а > 1, 0 < x < \frac {1}{\sqrt {2}}, x > a^{\sqrt {2}}$.
Решить неравенство $x^{log_a (x+1)} > a^2x$.
Решение:
Так как $x > 0$, то вместо неравенства
$x \cdot x^{log_a x} > a^2x$
можно написать
$x^{log_a x} > a^2$.
Если $а > 1$, то при логарифмировании по основанию $а$ знак неравенства не изменится:
$(log_a x)^2 > 2$,
откуда $log_a x < - \sqrt {2}$, $log_a x > \sqrt {2}$ т. е. $0 < x < \frac {1}{a^{\sqrt{2}}}$, $x > a^{\sqrt {2}}$.
Если $0 < а < 1$, то
$(log_a x)^2 < 2$
и
$- \sqrt {2} < log_a x < \sqrt {2}$,
т.е.
$a^{\sqrt {2}} < x < \frac {1}{a^{\sqrt {2}}}$.
Ответ. При $0 < а < 1$, $a^{\sqrt {2}} < x < a^ \frac {1}{\sqrt {2}}$; при $а > 1, 0 < x < \frac {1}{\sqrt {2}}, x > a^{\sqrt {2}}$.
