Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2391
2019-03-25 
Решить неравенство $4x^2 + 3^{\sqrt {x} + x} + x \cdot 3^{\sqrt {x} + x} < 2x^2 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 2x + 6$.
Решение:
Перепишем неравенство в виде
$3^{\sqrt{x}} (3 + x - 2x^2) - 2(-2x^2 + x + 3) < 0$,
или
$(3^{\sqrt {x}} - 2)(-2x^2 + x + 3) < 0$.
Последнее неравенство равносильно совокупности систем
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} - 2 > 0 \\ - 2 x^2 + x + 3 < 0 \end{cases}$;
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} - 2 < 0 \\ - 2 x^2 + x + 3 > 0 \end{cases}$.
Решая первую систему, получим
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} > 2 \\ x < -1, x > \frac{3}{2} \end{cases}$;
$\begin{cases} x > log_3^2 2 \\ x < -1, x > \frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $-1 < log_3^2 2 < log_3^2 3 = 1 < \frac{3}{2}$, то окончательно получим $x > \frac{3}{2}$.
Вторая система дает нам следующее:
$\begin{cases} 0 \leq x < log_3^2 2 \\ -1 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$, откуда $0 \leq x < log_3^2 2$.
Ответ. $0 \leq x < log_3^2 2$; $x > \frac{3}{2}$.
Решить неравенство $4x^2 + 3^{\sqrt {x} + x} + x \cdot 3^{\sqrt {x} + x} < 2x^2 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 2x + 6$.
Решение:
Перепишем неравенство в виде
$3^{\sqrt{x}} (3 + x - 2x^2) - 2(-2x^2 + x + 3) < 0$,
или
$(3^{\sqrt {x}} - 2)(-2x^2 + x + 3) < 0$.
Последнее неравенство равносильно совокупности систем
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} - 2 > 0 \\ - 2 x^2 + x + 3 < 0 \end{cases}$;
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} - 2 < 0 \\ - 2 x^2 + x + 3 > 0 \end{cases}$.
Решая первую систему, получим
$\begin{cases} 3^{\sqrt x} > 2 \\ x < -1, x > \frac{3}{2} \end{cases}$;
$\begin{cases} x > log_3^2 2 \\ x < -1, x > \frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $-1 < log_3^2 2 < log_3^2 3 = 1 < \frac{3}{2}$, то окончательно получим $x > \frac{3}{2}$.
Вторая система дает нам следующее:
$\begin{cases} 0 \leq x < log_3^2 2 \\ -1 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$, откуда $0 \leq x < log_3^2 2$.
Ответ. $0 \leq x < log_3^2 2$; $x > \frac{3}{2}$.
