Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2390
2019-03-25 
Решить неравенство $4^x \leq 3 \cdot 2^{\sqrt {x} + x} + 4^{\sqrt {x} + 1}$.
Решение:
Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на $2^{\sqrt{x}} 2^x$:
$2^{x-\sqrt{x}} \leq 3 + 4 \cdot 2^{\sqrt{x}-x}$;
обозначив $2^{x-\sqrt{x}} = y$, получим
$y \leq 3 + \frac{4}{y}$,
а так как $y > 0$, то
$y^2 - 3y - 4 \leq 0$.
Корни трехчлена: -1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем
$2^{x- \sqrt{x}} \leq 4$, т. е. $x - \sqrt {x} \leq 2$. Обозначим $\sqrt {x} = z$ и найдем решения неравенства
$z^2 - z - 2 \leq 0$.
Получим $-1 \leq z \leq 2$. Левое неравенство выполняется, если только $\sqrt {x}$ существует. Остается $\sqrt {x} \leq 2$, т. е. $0 \leq x \leq 4$.
Ответ. $0 \leq x \leq 4$.
Решить неравенство $4^x \leq 3 \cdot 2^{\sqrt {x} + x} + 4^{\sqrt {x} + 1}$.
Решение:
Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на $2^{\sqrt{x}} 2^x$:
$2^{x-\sqrt{x}} \leq 3 + 4 \cdot 2^{\sqrt{x}-x}$;
обозначив $2^{x-\sqrt{x}} = y$, получим
$y \leq 3 + \frac{4}{y}$,
а так как $y > 0$, то
$y^2 - 3y - 4 \leq 0$.
Корни трехчлена: -1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем
$2^{x- \sqrt{x}} \leq 4$, т. е. $x - \sqrt {x} \leq 2$. Обозначим $\sqrt {x} = z$ и найдем решения неравенства
$z^2 - z - 2 \leq 0$.
Получим $-1 \leq z \leq 2$. Левое неравенство выполняется, если только $\sqrt {x}$ существует. Остается $\sqrt {x} \leq 2$, т. е. $0 \leq x \leq 4$.
Ответ. $0 \leq x \leq 4$.
