ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-25   
Решить неравенство

$\sqrt {x} + \sqrt {x+7} + 2 \sqrt {x^2 + 7x} < 35 - 2x$.


Решение:


Перепишем данное неравенство в виде

$\sqrt {x} + \sqrt {x + 7} + x + 2 \sqrt {x} \sqrt {x+7} + (x+7) < 42$,

т. е.

$(\sqrt {x} + \sqrt {x+7})^2 + (\sqrt {x} + \sqrt {x+7}) - 42 < 0$.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через $у$, получим квадратное неравенство

$y^2 + y - 42 < 0$,

которое имеет решения: $-7 < y < 6$. Итак,

$-7 < \sqrt {x} + \sqrt {x+7} < 6$.

Поскольку сумма $\sqrt {x} + \sqrt {x+7}$ всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

$\sqrt {x} + \sqrt {x+7} < 6$.

После возведения в квадрат получим неравенство

$2 \sqrt {x} \sqrt {x+7} < 29 - 2x$,

равносильное исходному, так как корни $\sqrt {x}$ и $\sqrt {x+7}$ здесь не устранены. (Заметьте, что заменив выражение $\sqrt {x} \sqrt {x+7}$ на $ \sqrt {x(x+7)}$ мы могли нарушить равносильность). После второго возведения в квадрат придем к системе

$\begin{cases} 4x^2 + 28x < 841 - 116 x + 4x^2 \\ 29 - 2x > 0 \\ x \geq 0 \\ x+7 \geq 0 \end{cases}$,

т.е.

$\begin{cases} x < \frac{841}{144} \\ x < \frac{29}{2} \\ x \geq 0 \end{cases}$.
Ответ. $0 \leq x < \frac{841}{144}$.