Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2387
2019-03-25 
Решить неравенство $\frac {2x}{\sqrt {2x + 9}} < \sqrt {1 + 2x} - 1$.
Решение:
При $x > 0$ правая часть неравенства положительна, так как в этом случае $\sqrt {1+ 2x} > 1$. Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ \frac {2x^2}{2x + 9} < 1 + x - \sqrt {1 + 2x} \\ 2x + 9 > 0 \end{cases}$.
Получим неравенство системы - следствие того, что $x > 0$. Перенесем во втором неравенстве $1+x$ в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ \frac {11x + 9}{2x + 9} > \sqrt {1 + 2x} \end{cases}$.
Так как $x > 0$, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):
$\frac {121x^2 + 198x + 81}{4x^2 + 36x + 81} > 1 + 2x$.
Умножим неравенство на знаменатель, который при $x \neq - \frac{9}{2}$ положителен; после приведения подобных получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ -9x^3 + 45x^2 > 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{45}{8} \end{cases}$.
Итак, в первом случае неравенство имеет решения: $0 < x < \frac{45}{8}$.
При $x = 0$ данное неравенство не удовлетворяется.
Если же $x < 0$, то умножим обе части на $-1$, придем к неравенству
$\frac {2 \cdot (-x)}{\sqrt {2x + 9}} > 1 - \sqrt {1+2x}$.
Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда $x>0$, придем к выводу, что $x > \frac{45}{8}$. Это противоречит нашему предположению об отрицательности $x$.
Ответ. $0 < x < \frac{45}{8}$.
Решить неравенство $\frac {2x}{\sqrt {2x + 9}} < \sqrt {1 + 2x} - 1$.
Решение:
При $x > 0$ правая часть неравенства положительна, так как в этом случае $\sqrt {1+ 2x} > 1$. Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ \frac {2x^2}{2x + 9} < 1 + x - \sqrt {1 + 2x} \\ 2x + 9 > 0 \end{cases}$.
Получим неравенство системы - следствие того, что $x > 0$. Перенесем во втором неравенстве $1+x$ в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ \frac {11x + 9}{2x + 9} > \sqrt {1 + 2x} \end{cases}$.
Так как $x > 0$, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):
$\frac {121x^2 + 198x + 81}{4x^2 + 36x + 81} > 1 + 2x$.
Умножим неравенство на знаменатель, который при $x \neq - \frac{9}{2}$ положителен; после приведения подобных получим систему
$\begin{cases} x > 0 \\ -9x^3 + 45x^2 > 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{45}{8} \end{cases}$.
Итак, в первом случае неравенство имеет решения: $0 < x < \frac{45}{8}$.
При $x = 0$ данное неравенство не удовлетворяется.
Если же $x < 0$, то умножим обе части на $-1$, придем к неравенству
$\frac {2 \cdot (-x)}{\sqrt {2x + 9}} > 1 - \sqrt {1+2x}$.
Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда $x>0$, придем к выводу, что $x > \frac{45}{8}$. Это противоречит нашему предположению об отрицательности $x$.
Ответ. $0 < x < \frac{45}{8}$.
