ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-25   
Решить неравенство

$\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} > \frac {x-1}{x}$.


Решение:


Перепишем данное неравенство в виде

$\sqrt { \frac{(x-1)(x+1)}{x}} - \sqrt { \frac{x-1}{x}} - \frac{x-1}{x} > 0$.

Так как в неравенство входит выражение $\sqrt { \frac{x-1}{x}}$, то $\frac{x-1}{x} \geq 0$, а потому $\frac{x-1}{x} = \left ( \sqrt { \frac{x-1}{x}} \right )^2$ (напишите для себя, как выглядело бы это равенство при $\frac{x-1}{x} < 0$). Вынесем множитель $\sqrt { \frac{x-1}{x}}$ за скобки:

$\sqrt { \frac{x-1}{x}} \left (\sqrt {x+1} - 1 - \sqrt { \frac{x-1}{x}} \right ) > 0$.

Это неравенство равносильно системе

$\begin{cases} \sqrt {x+1} > 1 + \sqrt { \frac{x-1}{x}} \\ x \neq 1 \end{cases}$.

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, "освободившееся" от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

$\begin{cases} \frac {x^2 - x + 1}{x} > 2 \sqrt {\frac {x-1}{x}} \\ x \geq - 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$.

Так как $x^2 - x + 1 > 0$ при всех $x$, то первому неравенству системы могут удовлетворять только $x > 0$, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

$\begin{cases} x^2 - x + 1 > 2 \sqrt {x(x-1)} \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$.

Обозначим $\sqrt {x(x-1)} = y$, тогда первое неравенство примет вид $y^2 - 2y + 1 > 0$, т.е. $(y-1)^2 > 0$, откуда $y \neq 1$. Итак,

$\begin{cases} \sqrt {x^2 - x} \neq 1 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x^2 - x - 1 \neq 0 \\ x (x-1) > 0 \\ x > 0 \end{cases}$.

Последняя система равносильна такой:

$\begin{cases} x \neq \frac {1 \pm \sqrt {5}}{2} \\ x > 1 \end{cases}$.
Ответ. $1 < x < \frac {1 + \sqrt {5}}{2}$; $x > \frac {1 + \sqrt {5}}{2}$.