ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-25   
Решить неравенство $\frac {1 - \sqrt {1 - 4x^2}}{x} < 3$.


Решение:


Данное неравенство можно переписать так:

$\frac {1-3x - \sqrt {1-4x^2}}{x} < 0$.

Получаем совокупность двух систем

$\begin{cases} x > 0 \\ 1 - 3x - \sqrt {1 - 4x^2} < 0 \end{cases}$;
$\begin{cases} x < 0 \\ 1 - 3x - \sqrt {1-4x^2} > 0 \end{cases}$.

решаем первую систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ \sqrt {1 - 4x^2} > 1 - 3x \end{cases}$.

Если правая часть второго неравенства отрицательна ($x > 1/3$), то неравенству будут удовлетворять все $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно ($x^2 \leq 1/4, |x| \leq 1/3$). Получаем интервал решений $1/3 < x \leq 1/2$.

Если правая часть второго неравенства неотрицательна ($x \leq 1/3$), то второе неравенство можно возвести в квадрат, дополнив систему условием $1-4x^2 \geq 0$ или $|x| \leq 1/2$. После простых преобразований получим

$\begin{cases} 0 < x \leq 1/3 \\ |x| \leq 1/2 \\ 13x^2 - 6x < 0 \end{cases}$, т.е.
$\begin{cases} 0 < x \leq 1/3 \\ 0 < x < 6/13 \end{cases}$,

откуда $0 < x \leq 1/3$. Объединяя интервалы $0 < x \leq 1/3$ и $1/3 < x \leq 1/2$, получим решение первой системы: $0 < x \leq 1/2$.
Перейдем ко второй системе:

$\begin{cases} x < 0 \\ \sqrt {1 - 4x^2} > 1 - 3x \end{cases}$.

Условие $x < 0$ обеспечивает положительность правой части второго неравенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что $|x| \leq 1/2$. Получим

$\begin{cases} x < 0 \\ x(x-6/13) > 0 \\ -1/2 \leq x \leq 1/2 \end{cases}$, т.е. $-1/2 \leq x < 0$.
Ответ. $-1/2 \leq x < 0, 0 < x \leq 1/2$.