Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2381
2019-03-25 
Найти все $m$, для которых неравенство $mx^2 - 4x + 3m +1 > 0$ удовлетворяется при всех положительных значениях $x$.
Решение:
Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что $m > 0$. Если парабола не пересекает ось $Ox$, то получаем систему
$\begin{cases} m > 0 \\ D = 4 - m (3m + 1) < 0 \end{cases}$.
Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:
$\begin{cases} m > 0 \\ \frac {2 + \sqrt {4 - m (3m +1)}}{m} \leq 0 \end{cases}$.
Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений, при $m > 0$, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.
Решая второе неравенство первой системы, найдем
$m < -1 \frac{1}{3}, m > 1$.
Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: $m > 1$.
Пусть теперь $m = 0$. Правая часть данного неравенства принимает вид $-4x + 1 > 0$, т.е. $x < \frac{1}{4}$, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных $x$.
Ответ. $m > 1$.
Найти все $m$, для которых неравенство $mx^2 - 4x + 3m +1 > 0$ удовлетворяется при всех положительных значениях $x$.
Решение:
Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что $m > 0$. Если парабола не пересекает ось $Ox$, то получаем систему
$\begin{cases} m > 0 \\ D = 4 - m (3m + 1) < 0 \end{cases}$.
Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:
$\begin{cases} m > 0 \\ \frac {2 + \sqrt {4 - m (3m +1)}}{m} \leq 0 \end{cases}$.
Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений, при $m > 0$, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.
Решая второе неравенство первой системы, найдем
$m < -1 \frac{1}{3}, m > 1$.
Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: $m > 1$.
Пусть теперь $m = 0$. Правая часть данного неравенства принимает вид $-4x + 1 > 0$, т.е. $x < \frac{1}{4}$, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных $x$.
Ответ. $m > 1$.
