Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2379
2019-03-25 
Найти все действительные значения $a$, при которых корни многочлена $x^2 + x + a$ будут действительными и оба корня будут больше $a$.
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни данного уравнения. Тогда
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1x_2 = a \end{cases}$.
Если корни $x_1$ и $x_2$ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим $a > 0$, а следовательно, корни $x_1$ и $x_2$ меньше $a$. Если $a = 0$, то один из корней равен -1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, $a < 0$. При $a < 0$, дискриминант $1 - 4a$ положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше $a$, т. е.
$\frac {-1- \sqrt {1- 4a}}{2} > a$.
Это неравенство эквивалентно такому:
$\sqrt {1-4a} < -2a - 1$.
Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:
$\begin{cases} 1 - 4a < (1+2a)^2 \\ 1 + 2a < 0 \\ 1 - 4a \geq 0 \end{cases}$.
Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что $a < 0$.
Первые два преобразуются к виду
$\begin{cases} a (a+2) > 0 \\ a < - \frac{1}{2} \end{cases}$.
Ответ. $а < - 2$.
Найти все действительные значения $a$, при которых корни многочлена $x^2 + x + a$ будут действительными и оба корня будут больше $a$.
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни данного уравнения. Тогда
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1x_2 = a \end{cases}$.
Если корни $x_1$ и $x_2$ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим $a > 0$, а следовательно, корни $x_1$ и $x_2$ меньше $a$. Если $a = 0$, то один из корней равен -1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, $a < 0$. При $a < 0$, дискриминант $1 - 4a$ положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше $a$, т. е.
$\frac {-1- \sqrt {1- 4a}}{2} > a$.
Это неравенство эквивалентно такому:
$\sqrt {1-4a} < -2a - 1$.
Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:
$\begin{cases} 1 - 4a < (1+2a)^2 \\ 1 + 2a < 0 \\ 1 - 4a \geq 0 \end{cases}$.
Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что $a < 0$.
Первые два преобразуются к виду
$\begin{cases} a (a+2) > 0 \\ a < - \frac{1}{2} \end{cases}$.
Ответ. $а < - 2$.
