Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2378
2019-03-25 
Найти все действительные значения $m$, при которых квадратный трехчлен $x^2 + mx + (m^2 + 6m)$ будет отрицателен при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенству $1 < x < 2$.
Решение:
Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал $1 < x < 2$ будет расположен между корнями параболы, т.е. если
$\begin{cases} f (1) \leq 0 \\ f (2) \leq 0 \end{cases}$.
Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств
$\begin{cases} m^2 + 7m + 1 \leq 0 \\ m^2 + 8m + 4 \leq 0 \end{cases}$.
Решая первое неравенство, найдем
$\frac {-7 - 3 \sqrt {5}}{2} \leq m \leq \frac {-7 + 3 \sqrt {5}}{2}$,
а решая второе, получим
$- 4 - 2 \sqrt {3} \leq m \leq -4 + 2 \sqrt {3}$.
Ответ. $- \frac{1}{2} (7+ 3 \sqrt {5}) \leq m \leq -4 + 2 \sqrt {3}$.
Найти все действительные значения $m$, при которых квадратный трехчлен $x^2 + mx + (m^2 + 6m)$ будет отрицателен при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенству $1 < x < 2$.
Решение:
Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал $1 < x < 2$ будет расположен между корнями параболы, т.е. если
$\begin{cases} f (1) \leq 0 \\ f (2) \leq 0 \end{cases}$.
Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств
$\begin{cases} m^2 + 7m + 1 \leq 0 \\ m^2 + 8m + 4 \leq 0 \end{cases}$.
Решая первое неравенство, найдем
$\frac {-7 - 3 \sqrt {5}}{2} \leq m \leq \frac {-7 + 3 \sqrt {5}}{2}$,
а решая второе, получим
$- 4 - 2 \sqrt {3} \leq m \leq -4 + 2 \sqrt {3}$.
Ответ. $- \frac{1}{2} (7+ 3 \sqrt {5}) \leq m \leq -4 + 2 \sqrt {3}$.
