Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2376
2019-03-25 
Доказать, что если $x, у, z$ - действительные числа, удовлетворяющие равенствам $x + y + z = 5$, $yz + zx + xy = 8$, то $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$, $1 \ leq y \leq \frac{7}{3}$, $1 \leq z \leq \frac{7}{3}$.
Решение:
Перепишем данные уравнения в виде
$\begin{cases} y + z = 5 - x \\ yz + x (z+y) = 8 \end{cases}$,
откуда
$yz = 8 - x (5 - x)$.
Числа $у$ и $z$ будут корнями уравнения
$u^2 - (5 - x) u + x^2 - 5x + 8 = 0$.
Так как $у$ и $z$ должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях $x$:
$(5 - x)^2 - 4 (x^2 - 5x + 8) \geq 0$,
т. е.
$-3x^2 + 10x - 7 \geq 0$,
откуда
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$.
Так как уравнения, которым удовлетворяют $x, y$ и $z$, симметричны, то аналогичные ограничения получим для $y$ и $z$:
$1 \leq y \leq \frac{7}{3}, 1 \leq z \leq \frac{7}{3}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что если $x, у, z$ - действительные числа, удовлетворяющие равенствам $x + y + z = 5$, $yz + zx + xy = 8$, то $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$, $1 \ leq y \leq \frac{7}{3}$, $1 \leq z \leq \frac{7}{3}$.
Решение:
Перепишем данные уравнения в виде
$\begin{cases} y + z = 5 - x \\ yz + x (z+y) = 8 \end{cases}$,
откуда
$yz = 8 - x (5 - x)$.
Числа $у$ и $z$ будут корнями уравнения
$u^2 - (5 - x) u + x^2 - 5x + 8 = 0$.
Так как $у$ и $z$ должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях $x$:
$(5 - x)^2 - 4 (x^2 - 5x + 8) \geq 0$,
т. е.
$-3x^2 + 10x - 7 \geq 0$,
откуда
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$.
Так как уравнения, которым удовлетворяют $x, y$ и $z$, симметричны, то аналогичные ограничения получим для $y$ и $z$:
$1 \leq y \leq \frac{7}{3}, 1 \leq z \leq \frac{7}{3}$,
что и требовалось доказать.
