Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2375
2019-03-25 
Доказать, что если действительные числа $x, у, z$, не равные нулю, удовлетворяют равенствам: $x+y+z = xyz$ и $x^2 = yz$, то $x^2 \geq 3$.
Решение:
Подставляя в первое уравнение $х^2$ вместо $yz$, преобразуем систему следующим образом:
$\begin{cases} y + z = x^3 - x \\ yz = x^2 \end{cases}$.
Числа $у$ и $z$ являются корнями квадратного уравнения относительно $u$:
$u^2 + (x - x^3) u + x^2 = 0$.
По условию числа $у$ и $z$ действительны. Следовательно, дискриминант $D = (x - x^3)^2 - 4x^2 = x^2 (1-x^2)^2 - 4x^2 = x^2 [(1-x^2)^2 - 4]$ должен быть неотрицательным.
Tак как по условию $x \neq 0$, то
$(1-x^2)^2 \geq 4$.
Это неравенство может выполняться, если либо $1 - x^2 \leq -2$, либо $1 - x^2 \geq 2$. Bторое неравенство не имеет решений, а из первого получаем $x^2 \geq 3$, что и требовалось доказать.
Доказать, что если действительные числа $x, у, z$, не равные нулю, удовлетворяют равенствам: $x+y+z = xyz$ и $x^2 = yz$, то $x^2 \geq 3$.
Решение:
Подставляя в первое уравнение $х^2$ вместо $yz$, преобразуем систему следующим образом:
$\begin{cases} y + z = x^3 - x \\ yz = x^2 \end{cases}$.
Числа $у$ и $z$ являются корнями квадратного уравнения относительно $u$:
$u^2 + (x - x^3) u + x^2 = 0$.
По условию числа $у$ и $z$ действительны. Следовательно, дискриминант $D = (x - x^3)^2 - 4x^2 = x^2 (1-x^2)^2 - 4x^2 = x^2 [(1-x^2)^2 - 4]$ должен быть неотрицательным.
Tак как по условию $x \neq 0$, то
$(1-x^2)^2 \geq 4$.
Это неравенство может выполняться, если либо $1 - x^2 \leq -2$, либо $1 - x^2 \geq 2$. Bторое неравенство не имеет решений, а из первого получаем $x^2 \geq 3$, что и требовалось доказать.
