Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2373
2019-03-23 
Доказать, что при любых действительных $x$ и $у$ имеет место неравенство $(a \cdot 2^x + b \cdot 3^y + 1)^2 \leq (4^x + 9^y + 1)(a^2 + b^2 + 1)$.
Решение:
Предположим противное, т.е. что
$(a \cdot 2^x + b \cdot 3^y + 1)^2 > (4^x + 9^y + 1)(a^2 + b^2 + 1)$.
Раскроем скобки, перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$4^xb^2 + 4^x + 9^ya^2 + 9^y + a^2 + b^2 - 2ab \cdot 2^x \cdot 3^y - 2a \cdot 2^x - 2b \cdot 3^y < 0$,
или
$(b \cdot 2^x - a \cdot 3^y)^2 + (2^x - a)^2 + (3^y - b)^2 < 0$,
что невозможно.
Доказать, что при любых действительных $x$ и $у$ имеет место неравенство $(a \cdot 2^x + b \cdot 3^y + 1)^2 \leq (4^x + 9^y + 1)(a^2 + b^2 + 1)$.
Решение:
Предположим противное, т.е. что
$(a \cdot 2^x + b \cdot 3^y + 1)^2 > (4^x + 9^y + 1)(a^2 + b^2 + 1)$.
Раскроем скобки, перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$4^xb^2 + 4^x + 9^ya^2 + 9^y + a^2 + b^2 - 2ab \cdot 2^x \cdot 3^y - 2a \cdot 2^x - 2b \cdot 3^y < 0$,
или
$(b \cdot 2^x - a \cdot 3^y)^2 + (2^x - a)^2 + (3^y - b)^2 < 0$,
что невозможно.
