Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2372
2019-03-23 
Доказать неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 3$, где $a, b$ и $c$ - положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
Решение:
Первый способ. Обозначим $\frac{a}{b} = u$, $\frac{b}{c} = v$, $\frac{c}{a} = w$. Тогда $uvw = 1$, т. е. среди чисел $u, v$ и $w$ есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 ($u = v = w$ невозможно, так как $a, b$ и $c$ не равны друг другу). Пусть $u > 1$, а $0 < v < 1$, т. е.
$(1 - u) (v - 1) > 0$ или $ - uv + u + v - 1 > 0$.
C другой стороны, для чисел $u, v$ и $w$ выполняется неравенство
$\frac {uv + w}{2} \geq \sqrt {uvw} = 1$
т. е. $uv + w \geq 2$. Складывая это неравенство с неравенством $-uv + u + v - 1 > 0$ получим
$u + v + w > 3$,
или
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 3$.
Второй способ. Пусть $u, v$ и $w$ - положительные числа, причем $w$ - наименьшее из них: $u > w, v > w$. Так как $u - w$ - положительное число, то на него можно умножить неравенство $v > w$:
$v ( u - w) > w (u - w)$,
т.е.
$uv - vw + w^2 > uw$.
Поделим последнее неравенство на $uw$:
$\frac{v}{w} - \frac{v}{u} + \frac{w}{u} > 1$.
С другой стороны,
$\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geq 2$.
Складывая с предыдущим неравенством, получим
$\frac{u}{v} + \frac{v}{w} + \frac{w}{u} > 3$.
Если $с$ - наименьшее из чисел $a, b$ и $c$, то полагаем $w = c, u = a, v = b$ и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если $a$ или $b$ - наименьшее из чисел $a, b$ и $c$, то обозначения соответственно изменятся.
Доказать неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 3$, где $a, b$ и $c$ - положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
Решение:
Первый способ. Обозначим $\frac{a}{b} = u$, $\frac{b}{c} = v$, $\frac{c}{a} = w$. Тогда $uvw = 1$, т. е. среди чисел $u, v$ и $w$ есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 ($u = v = w$ невозможно, так как $a, b$ и $c$ не равны друг другу). Пусть $u > 1$, а $0 < v < 1$, т. е.
$(1 - u) (v - 1) > 0$ или $ - uv + u + v - 1 > 0$.
C другой стороны, для чисел $u, v$ и $w$ выполняется неравенство
$\frac {uv + w}{2} \geq \sqrt {uvw} = 1$
т. е. $uv + w \geq 2$. Складывая это неравенство с неравенством $-uv + u + v - 1 > 0$ получим
$u + v + w > 3$,
или
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 3$.
Второй способ. Пусть $u, v$ и $w$ - положительные числа, причем $w$ - наименьшее из них: $u > w, v > w$. Так как $u - w$ - положительное число, то на него можно умножить неравенство $v > w$:
$v ( u - w) > w (u - w)$,
т.е.
$uv - vw + w^2 > uw$.
Поделим последнее неравенство на $uw$:
$\frac{v}{w} - \frac{v}{u} + \frac{w}{u} > 1$.
С другой стороны,
$\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geq 2$.
Складывая с предыдущим неравенством, получим
$\frac{u}{v} + \frac{v}{w} + \frac{w}{u} > 3$.
Если $с$ - наименьшее из чисел $a, b$ и $c$, то полагаем $w = c, u = a, v = b$ и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если $a$ или $b$ - наименьшее из чисел $a, b$ и $c$, то обозначения соответственно изменятся.
