Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2371
2019-03-23 
Доказать, что $n! < \left (\frac {n+1}{2} \right )^n$ при $n>1$.
Решение:
Имеем $n$ очевидных неравенств:
$\sqrt {1 \cdot n} < \frac {1+n}{2}$,
$\sqrt {2(n-1)} \leq \frac {1+n}{2}$,
$\cdots \cdots$
$\sqrt {(n-1)2} \leq \frac {1+n}{2}$,
$\sqrt {n \cdot 1} < \frac {1+n}{2}$.
Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию $n > 1$. Перемножая эти неравенства, получим
$\sqrt {(n!)^2} < \left ( \frac{1+n}{2} \right )^n$, т.е. $n! < \left ( \frac{1+n}{2} \right )^n$.
Доказать, что $n! < \left (\frac {n+1}{2} \right )^n$ при $n>1$.
Решение:
Имеем $n$ очевидных неравенств:
$\sqrt {1 \cdot n} < \frac {1+n}{2}$,
$\sqrt {2(n-1)} \leq \frac {1+n}{2}$,
$\cdots \cdots$
$\sqrt {(n-1)2} \leq \frac {1+n}{2}$,
$\sqrt {n \cdot 1} < \frac {1+n}{2}$.
Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию $n > 1$. Перемножая эти неравенства, получим
$\sqrt {(n!)^2} < \left ( \frac{1+n}{2} \right )^n$, т.е. $n! < \left ( \frac{1+n}{2} \right )^n$.
