ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Доказать, что $(a^m + b^m)^{ \frac{1}{m}} \leq (a^n + b^n)^{ \frac{1}{n}}$, где $a \geq 0, b \geq 0, m \geq n, m$ и $n$ - натуральные числа.


Решение:


Пусть $a \leq b$ и $b > 0$. Тогда по свойству показательной функции

$\left ( \frac{a}{b} \right )^m \leq \left ( \frac{a}{b} \right )^n$ если $m \geq n$. Прибавим к обеим частям неравенства по единице и возведем в степень $\frac{1}{m}$:

$\left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^m + 1 \right ]^{ \frac{1}{m} } \leq \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^n + 1 \right ]^{ \frac{1}{m}}$.

Так как $m \geq n$, то $\frac{1}{m} \leq \frac{1}{n}$ и по свойству показательной функции с основанием, большим единицы:

$\left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^n + 1 \right ]^{ \frac{1}{m} } \leq \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^n + 1 \right ]^{ \frac{1}{n}}$.

Следовательно,

$\left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^m + 1 \right ]^{ \frac{1}{m} } \leq \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^n + 1 \right ]^{ \frac{1}{n}}$.

Умножая обе части неравенства на число $b > 0$, получим

$(a^m + b^m)^{ \frac{1}{m}} \leq (a^n + b^n)^{ \frac{1}{n}}$.

Oсталось рассмотреть случай $b = 0$. B этом случае неравенство обращается в очевидное равенство.