Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2368
2019-03-23 
Доказать неравенство $\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5$ при условии, что $a + b + c = 1$, а подкоренные выражения неотрицательны.
Решение:
Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:
$\sqrt {4a +1} = \sqrt {(4a + 1) \cdot 1} \leq \frac {(4a + 1) + 1}{2} = 2a + 1$.
Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что
$\sqrt {4a +1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \leq 2 (a+b+c) + 3 = 5$
Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств $4a = 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4c + 1 = 1$, т. е. при $a = b= c = 0$, что противоречит условию $a + b + с = 1$.
Итак,
$\sqrt {4a+1} + \sqrt {4b+1} + \sqrt {4c+1} < 5$.
Доказать неравенство $\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5$ при условии, что $a + b + c = 1$, а подкоренные выражения неотрицательны.
Решение:
Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:
$\sqrt {4a +1} = \sqrt {(4a + 1) \cdot 1} \leq \frac {(4a + 1) + 1}{2} = 2a + 1$.
Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что
$\sqrt {4a +1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \leq 2 (a+b+c) + 3 = 5$
Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств $4a = 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4c + 1 = 1$, т. е. при $a = b= c = 0$, что противоречит условию $a + b + с = 1$.
Итак,
$\sqrt {4a+1} + \sqrt {4b+1} + \sqrt {4c+1} < 5$.
