Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2367
2019-03-23 
Доказать, что $-x^3 + x^2 \leq \frac{1}{4}$, если $0 \leq x \leq 1$.
Решение:
Данное неравенство можно переписать так:
$4x^3 - 4x^2 + 1 \geq 0$
Oценим левую часть:
$4x^2 (x-1) + 1 = -4x^2 (1-x) +1$.
Так как $0 \leq x \leq 1$, то $x^2 \leq x$ и $1 - x \geq 0$. Следовательно, $-4x^2 (1- x) + 1 \geq - 4x (1-x) + 1 = (2x - 1)^2 \geq 0$, что и доказывает наше неравенство.
Доказать, что $-x^3 + x^2 \leq \frac{1}{4}$, если $0 \leq x \leq 1$.
Решение:
Данное неравенство можно переписать так:
$4x^3 - 4x^2 + 1 \geq 0$
Oценим левую часть:
$4x^2 (x-1) + 1 = -4x^2 (1-x) +1$.
Так как $0 \leq x \leq 1$, то $x^2 \leq x$ и $1 - x \geq 0$. Следовательно, $-4x^2 (1- x) + 1 \geq - 4x (1-x) + 1 = (2x - 1)^2 \geq 0$, что и доказывает наше неравенство.
