Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2366
2019-03-23 
Дано $a + b + c$, где $a, b, c$ - положительные числа. Доказать, что $a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} > c^{ \frac{2}{3}}$.
Решение:
Первый способ.
$c^{ \frac{2}{3}} = \frac {a}{c^{ \frac{1}{3}}} + \frac {b}{c^{ \frac{1}{3}}} < \frac {a}{a^{ \frac{1}{3}}} + \frac {b}{b^{ \frac{1}{3}}} = a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}}$.
Второй способ. Неравенству $a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} > c^{ \frac{2}{3}}$ эквивалентно неравенство
$\left ( \frac{a}{c} \right )^{ \frac{2}{3}} + \left ( \frac{b}{c} \right )^{ \frac{2}{3}} > 1$.
Так как $b < c$ и $a < c$, то основания показательных функций $\left ( \frac{a}{c} \right )^x$ и $\left ( \frac{b}{c} \right )^x$ меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,
$\left ( \frac{a}{c} \right )^{ \frac{2}{3} } + \left ( \frac{b}{c} \right )^{ \frac{2}{3} } > \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$
Дано $a + b + c$, где $a, b, c$ - положительные числа. Доказать, что $a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} > c^{ \frac{2}{3}}$.
Решение:
Первый способ.
$c^{ \frac{2}{3}} = \frac {a}{c^{ \frac{1}{3}}} + \frac {b}{c^{ \frac{1}{3}}} < \frac {a}{a^{ \frac{1}{3}}} + \frac {b}{b^{ \frac{1}{3}}} = a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}}$.
Второй способ. Неравенству $a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} > c^{ \frac{2}{3}}$ эквивалентно неравенство
$\left ( \frac{a}{c} \right )^{ \frac{2}{3}} + \left ( \frac{b}{c} \right )^{ \frac{2}{3}} > 1$.
Так как $b < c$ и $a < c$, то основания показательных функций $\left ( \frac{a}{c} \right )^x$ и $\left ( \frac{b}{c} \right )^x$ меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,
$\left ( \frac{a}{c} \right )^{ \frac{2}{3} } + \left ( \frac{b}{c} \right )^{ \frac{2}{3} } > \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$
