Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2363
2019-03-23 
Решить систему
$\begin{cases} \frac{x^2}{y^2} + 2 \sqrt {x^2 + 1} + y^2 = 3 \\ x + \frac {y}{\sqrt {x^2 +1} + x} + y^2 - 0 \end{cases}$
в области действительных чисел.
Решение:
Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на $\sqrt {x^2 + 1} - x$. Полученное уравнение разделим на $у$, который тоже отличен от нуля, если входит в решение системы. Получим
$\frac{x}{y} + \sqrt {x^2 + 1} - x + y = 0$.
Исключим $\sqrt {x^2 + 1}$ с помощью первого уравнения системы:
$\frac{x^2}{y^2} - 2 \frac{x}{y} + y^2 + 2x - 2y = 3$.
Последнее уравнение перепишем в виде
$\frac{x^2}{y^2} + 2x + y^2 - 2 \left ( \frac{x}{y} + y \right ) = 3$.
Если $\frac{x}{y} + y = z$, то
$z^2 - 2z - 3 = 0, z_1 = - 1, z_2 = 3$.
Первое уравнение данной системы можно записать в виде
$\left ( \frac{x^2}{y^2} + 2x + y^2 \right ) - 2x + 2 \sqrt {x^2 + 1} = 3$,
т.е.
$z^2 - 2x + 2 \sqrt {x^2 +1} = 3$.
Если $z = -1$, то $\sqrt {x^2 + 1} = 1 + x$, откуда $х = 0$.Второе уравнение системы дает тогда два значения: $у_1 = 0, у_2 = -1$, где $y = 0$ не удовлетворяет первому уравнению. Если $z = 3$, то $x = 4/3$ второе уравнение системы после несложных преобразований принимает вид $3y^2 + у + 4 = 0$, т. е. не имеет действительных решений.
Проверка убеждает нас в том, что $х = 0, у = -1$ - единственное решение системы.
Ответ. (0, -).
Решить систему
$\begin{cases} \frac{x^2}{y^2} + 2 \sqrt {x^2 + 1} + y^2 = 3 \\ x + \frac {y}{\sqrt {x^2 +1} + x} + y^2 - 0 \end{cases}$
в области действительных чисел.
Решение:
Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на $\sqrt {x^2 + 1} - x$. Полученное уравнение разделим на $у$, который тоже отличен от нуля, если входит в решение системы. Получим
$\frac{x}{y} + \sqrt {x^2 + 1} - x + y = 0$.
Исключим $\sqrt {x^2 + 1}$ с помощью первого уравнения системы:
$\frac{x^2}{y^2} - 2 \frac{x}{y} + y^2 + 2x - 2y = 3$.
Последнее уравнение перепишем в виде
$\frac{x^2}{y^2} + 2x + y^2 - 2 \left ( \frac{x}{y} + y \right ) = 3$.
Если $\frac{x}{y} + y = z$, то
$z^2 - 2z - 3 = 0, z_1 = - 1, z_2 = 3$.
Первое уравнение данной системы можно записать в виде
$\left ( \frac{x^2}{y^2} + 2x + y^2 \right ) - 2x + 2 \sqrt {x^2 + 1} = 3$,
т.е.
$z^2 - 2x + 2 \sqrt {x^2 +1} = 3$.
Если $z = -1$, то $\sqrt {x^2 + 1} = 1 + x$, откуда $х = 0$.Второе уравнение системы дает тогда два значения: $у_1 = 0, у_2 = -1$, где $y = 0$ не удовлетворяет первому уравнению. Если $z = 3$, то $x = 4/3$ второе уравнение системы после несложных преобразований принимает вид $3y^2 + у + 4 = 0$, т. е. не имеет действительных решений.
Проверка убеждает нас в том, что $х = 0, у = -1$ - единственное решение системы.
Ответ. (0, -).
