ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Найти все значения $a$, при которых система

$\begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 + a \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

имеет только одно решение ($a, x, у$ - действительные числа).


Решение:


Наряду с решением $x = x_1, y = y_1$ система обязательно имеет решение $x = -x_1, y = y_1$. Чтобы у системы было только одно решение, эти два решения должны совпасть, т. е. $x_1 = -x_1 = 0$. Подставляя в данную систему $x = 0, y = y_1$ получим систему уравнений относительно $y_1$ и $a$:

$\begin{cases} y_1 + a = 1 \\ y_1^2 = 1 \end{cases}$.

Исключив из нее $у_1$ найдем $(1 - a)^2 = 1$, т. е. $a_1 = 0$, $a_2 = 2$. Если $a = 0$, то приходим к системе

$\begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$.

Нужно выяснить, есть ли у этой системы решение, отличное от $x = 0, y = 1$. Достаточно рассмотреть случай $x > 0$, так как при $x < 0$ в силу «четности» ответ будет аналогичным.

B силу уравнения $x^2 + y^2 = 1$ неизвестные $x$ и $у$ не превосходят единицы. Если $x > 0$, т. е. $0 < x \leq 1$, то $x^2 \leq x$ и $-x^2 + x \geq 0$. Учитывая последнее соотношение для первого уравнения

$у = 2^x - x^2 + x$,

обнаружим, что $y > 1$.

Так как раньше мы получили, что $у \leq 1$, то получаем противоречие и, следовательно, $x > 0$ не может входить в решение системы.

Мы доказали, что при $a = 0$ данная система имеет единственное решение.

Пусть теперь $a = 2$. При $x \geq 0$ получим систему

$\begin{cases} y = 2^x - x^2 + x - 2 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$,

у которой наряду с решением $x = 0, y = -1$ есть решение $x = 1, y = 0$.

Следовательно, из двух значений, найденных для $a$, подходит только одно.
Ответ. 0.