ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Найти все значения $a$, при которых система

$\begin{cases} (x^2 + 1)^a + (b^2 + 1)^y = 2 \\ a + bxy + x^2y = 1 \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение для любого значения $b$ ($a, b, x, y$ - действительные числа).


Решение:


Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом $b$, то она должна иметь решение и при $b = 0$. Положив $b = 0$, получим систему

$\begin{cases} (x^2 + 1)^a = 1 \\ a + x^2y = 1 \end{cases}$.

Первое уравнение удовлетворяется либо при $a = 0$ и любом $x$, либо при $x = 0$. Если $x = 0$, то из второго уравнения получаем $а = 1$. Итак, возможны только два значения: $a = 0$ и $а = 1$.
При $a = 0$ получаем систему

$\begin{cases} (b^2 + 1)^y = 1 \\ bxy + x^2y = 1 \end{cases}$.

Первое уравнение имеет решение при любом $b$, только если $y = 0$. Однако это значение $у$ не удовлетворяет второму уравнению.
Остается рассмотреть случай $а = 1$. Система примет вид

$\begin{cases} x^2 + (b^2 + 1)^y = 1 \\ bxy + x^2y = 0 \end{cases}$.

При любом $b$ эта система имеет решение $x = у = 0$.
Ответ. 1.