Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2360
2019-03-23 
Найти все значения $a$, при которых система $\begin{cases} x^3 - ay^3 = \frac{1}{2} (a+1)^2 \\ x^3 + ax^2y + xy^2 = 1 \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению $x+y = 0$ ($a, x, y$ - действительные числа).
Решение:
По условию $у = -x$. Данные уравнения примут вид
$\begin{cases} x^3 (1+a) = \frac{1}{2} (a+1)^2 \\ x^3 (2-a) = 1 \end{cases}$
Если $a \neq - 1$, то, найдя $x^2$ из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения
$\frac{1}{2} (a+1) = \frac{1}{2-a}$, т.е. $a^2 - a = 0$,
откуда $a = 0$ или $a = 1$.
Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра $a$:
$-1, 0, 1$,
которые нужно проверить.
Если $a = -1$, то из первого уравнения найдем $y = -x$, а из второго уравнения найдем $x^3 = \frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{ \sqrt[3]{3}}$, а следовательно, $y = - \frac{1}{ \sqrt[3]{3}}$. Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию $x + y = 0$.
Если $а = 0$, то из первого уравнения: $x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}}$, а из второго: $у = \pm \frac{1}{ \sqrt[3]{2}}$. Это значит, что при $a = 0$ система имеет два решения:
$\begin{cases} x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \\ y = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \end{cases}$; $\begin{cases} x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \\ y = - \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \end{cases}$.
По условию любое решение должно удовлетворять требованию $x + y = 0$, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение $a = 0$ мы должны отбросить.
Oсталось рассмотреть случай, когда $а = 1$, B этом случае получим систему
$\begin{cases} x^3 - y^3 = 2 \\ x^3 + x^2y + xy^2 = 1 \end{cases}$
или
$\begin{cases} (x-y)(x^3 + xy + y^2 = 2 \\ x(x^2 + xy + y^2) = 1 \end{cases}$.
Так как правые части $\neq 0$, то разделим первое уравнение на второе, откуда $x + у = 0$. Поскольку условие $x + у = 0$ теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что у этой системы есть хотя бы одно решение. Легко увидеть, что таким решением является $x = 1$, $у = -1$.
Ответ. $\pm 1$.
Найти все значения $a$, при которых система $\begin{cases} x^3 - ay^3 = \frac{1}{2} (a+1)^2 \\ x^3 + ax^2y + xy^2 = 1 \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению $x+y = 0$ ($a, x, y$ - действительные числа).
Решение:
По условию $у = -x$. Данные уравнения примут вид
$\begin{cases} x^3 (1+a) = \frac{1}{2} (a+1)^2 \\ x^3 (2-a) = 1 \end{cases}$
Если $a \neq - 1$, то, найдя $x^2$ из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения
$\frac{1}{2} (a+1) = \frac{1}{2-a}$, т.е. $a^2 - a = 0$,
откуда $a = 0$ или $a = 1$.
Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра $a$:
$-1, 0, 1$,
которые нужно проверить.
Если $a = -1$, то из первого уравнения найдем $y = -x$, а из второго уравнения найдем $x^3 = \frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{ \sqrt[3]{3}}$, а следовательно, $y = - \frac{1}{ \sqrt[3]{3}}$. Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию $x + y = 0$.
Если $а = 0$, то из первого уравнения: $x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}}$, а из второго: $у = \pm \frac{1}{ \sqrt[3]{2}}$. Это значит, что при $a = 0$ система имеет два решения:
$\begin{cases} x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \\ y = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \end{cases}$; $\begin{cases} x = \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \\ y = - \frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \end{cases}$.
По условию любое решение должно удовлетворять требованию $x + y = 0$, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение $a = 0$ мы должны отбросить.
Oсталось рассмотреть случай, когда $а = 1$, B этом случае получим систему
$\begin{cases} x^3 - y^3 = 2 \\ x^3 + x^2y + xy^2 = 1 \end{cases}$
или
$\begin{cases} (x-y)(x^3 + xy + y^2 = 2 \\ x(x^2 + xy + y^2) = 1 \end{cases}$.
Так как правые части $\neq 0$, то разделим первое уравнение на второе, откуда $x + у = 0$. Поскольку условие $x + у = 0$ теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что у этой системы есть хотя бы одно решение. Легко увидеть, что таким решением является $x = 1$, $у = -1$.
Ответ. $\pm 1$.
