ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Найти все значения $а$ и $b$ при которых система

$\begin{cases} xyz + z = a \\ xyz^2 + z = b \\ x^2 + y^2 + z^2 = 4\end{cases}$,

если $a>b>0$ и $a+b<1$ имеет единственное решение ($a,b,x,y$ - действительные числа).


Решение:


Наряду с решением $x_1, у_1, z_1$ система обязательно имеет решение $-x_1, -y_l, z_1$. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда $x = у = 0$.

Подставляя $x = у = 0$ в исходную систему, получим

$\begin{cases} z = a \\ z = b \\ z^2 = 4\end{cases}$,

откуда либо $a = b = 2$, либо $a = b = - 2$.

Проверим, действительно ли при найденных значениях $a$ и $b$ система имеет единственное решение.

Если $a - b = 2$, то из первого уравнения находим

$xyz = 2 - z$.

Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - 3z + 2 = 0$,

корни которого $z_1 = 1, z_2 = 2$.
При $z = 1$ получим систему

$\begin{cases} xy = 1 \\ x^2 + y^2 = 3 \end{cases}$,

которая, как легко проверить, имеет четыре решения.

Таким образом, значения параметров $а = b - 2$ не удовлетворяют условию задачи.

Если $а = b = -2$, то из первого уравнения найдем

$xyz = -2 - z$.

Подставляем во второе:

$z^2 + z - 2 = 0$,

откуда $z_1 = -2, z_2 = 1$.
При $z = - 2$ приходим к системе

$\begin{cases} xy = 0 \\ x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$,

имеющей единственное решение $x = у = 0$. При $z = 1$ получаем систему

$\begin{cases} xy = -3 \\ x^2 + y^2 = 3 \end{cases}$

Подставляем во второе уравнение $у = - \frac{3}{x}$ и убеждаемся, что уравнение $x^4 - 3x^2 + 9 = 0$, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.
Ответ. $a = b = -2$.