Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2358
2019-03-23 
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {{x} \sqrt {1-y^2}} = a \\ y \sqrt {1-x^2} = b \end{cases}$, если $a>b>0$ и $a+b<1$.
Решение:
Первый способ. Так как $а$ и $b$ положительны, то из данных уравнений следует, что $x > 0$ и $у > 0$.
Возведем каждое из уравнений в квадрат:
$\begin{cases} x^2 (1 - y^2) = a^2 \\ y^2 (1 - x^2) = b^2 \end{cases}$.
B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо $х < 0$, либо $у < 0$.
Выражения $1-у^2$ и $1-x^2$, как это видно из последней системы, останутся положительными.
Мы получили систему относительно $x^2 = u$ и $y^2 = v$:
$\begin{cases} u (1-v) = a^2 \\ v (1-u) = b^2 \end{cases}$.
Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения
неравенств
$\begin{cases} u > 0 \\ v > 0 \end{cases}$.
Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим
$\begin{cases} u - uv = a^2 \\ v - uv = b^2 \end{cases}$
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
$u - v = a^2 - b^2$,
т. е. $u = v + a^2- b^2$. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно $v$:
$v^2 + (а^2 - b^2 - 1) v + b^2 = 0$,
откуда
$v_{1,2} = \frac{1}{2} (1-a^2 +b^2 \pm \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2)}$.
Вычисляем $u$:
$u_{1,2} = \frac{1}{2} (1+ a^2 - b^2 \pm \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2)}$.
(У $u$ и $v$, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)
Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:
$(1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2 = (1 - a^2 + b^2 - 2b)(1 - a^2 + b^2 + 2b) = [(1 - b)^2 - a^2][(1 + b)^2 - a^2] = (1 - b - a)(1 - b + a)(1+b-a)(1+b+a)$.
Так как $а > b > 0$ и $а + b < 1$, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.
Если перед корнем выбран знак плюс, то $u$ и $v$ положительны. Докажем, что $v > 0$. Имеем: $а^2- b^2 = (а - b)(а + b) < а - b < а - b + 2b = а + b < 1$. Следовательно, $1 - а^2 + b^2 > 0$ и, обращаясь к выражению для $v$ находим, что $v > 0$. Так как $а > b$, то очевидно, что и $u > 0$.
Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что $u$ и $v$ положительны. Так как $а > b$, то проверку достаточно провести для $v$, которое меньше $u$.
Неравенство
$1 -a^2 + b^2 > \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2}$
очевидно.
Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно $u$ и $v$ при условии, что и и v положительны, мы не нарушали равносильности.
Второй способ. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки $x = sin \phi, y = \sin \varphi$ где $0 < \phi < \pi/2, 0 < \varphi < \pi/2$. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что $0 < x < 1, 0 < y < 1$. Получим систему
$\begin{cases} \sin \phi \cos \varphi = a \\ \sin \varphi \cos \phi = b \end{cases}$.
Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем
$\begin{cases} \sin (\phi + \varphi) = a + b \\ \sin (\phi - \varphi) = a - b \end{cases}$
Так как по условию $0 < a + b < 1$ и $0 < а - b < 1$, а на $\phi$ и $\varphi$ были наложены ограничения $0 < \phi < \pi/2, 0 < \varphi < \pi/2$, то можно написать
$\begin{cases} \phi + \varphi = arcsin (a+b) \\ \phi - \varphi = arcsin (a-b) \end{cases}$ или $\begin{cases} \phi + \varphi = \pi - arcsin (a+b) \\ \phi - \varphi = arcsin (a-b) \end{cases}$.
Из первой системы получим
$\begin{cases} \phi_1 = \frac{1}{2} [arcsin (a+b) + arcsin (a-b)] \\ \varphi_1 = \frac{1}{2} [arcsin (a+b) - arcsin (a-b)] \end{cases}$.
Найдем $\sin \phi_1$ и $\sin \varphi_1$:
$\sin \phi_1 = \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} = \sqrt { \frac{1}{2} [1- \cos (\alpha + \beta)]} = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$,
где $\alpha = arcsin (a + b), \beta = arcsin (a - b)$. (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничении на $\phi$ и $\varphi$: $0 < \phi < \pi/2$, $0 < \varphi < \pi/2$). Продолжим преобразования:
$\sin \phi_1 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - \sqrt {[1 - (a+b)^2][1- (a-b)^2]} + (a+b)(a-b)} = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 - \sqrt{[1 - (a + b)^2 ][1 - (a - b )^2 ] }} $.
Нетрудно убедиться в том, что
$[1 - (a+b)^2][1 - (a-b)^2] = (1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2$.
Аналогично найдем $\sin \varphi_1$, а также $\sin \phi_2$ и $\sin \varphi_2$.
Ответ. Если $а > b > 0$, $а + b < 1$, то система имеет два решения:
$\begin{cases} x_1 = \frac{1}{\sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 - \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}} \\ y_1 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - a^2 + b^2 - \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}}\end{cases}$;
$\begin{cases} x_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 + \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}} \\ y_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - a^2 + b^2 + \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}}\end{cases}$.
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {{x} \sqrt {1-y^2}} = a \\ y \sqrt {1-x^2} = b \end{cases}$, если $a>b>0$ и $a+b<1$.
Решение:
Первый способ. Так как $а$ и $b$ положительны, то из данных уравнений следует, что $x > 0$ и $у > 0$.
Возведем каждое из уравнений в квадрат:
$\begin{cases} x^2 (1 - y^2) = a^2 \\ y^2 (1 - x^2) = b^2 \end{cases}$.
B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо $х < 0$, либо $у < 0$.
Выражения $1-у^2$ и $1-x^2$, как это видно из последней системы, останутся положительными.
Мы получили систему относительно $x^2 = u$ и $y^2 = v$:
$\begin{cases} u (1-v) = a^2 \\ v (1-u) = b^2 \end{cases}$.
Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения
неравенств
$\begin{cases} u > 0 \\ v > 0 \end{cases}$.
Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим
$\begin{cases} u - uv = a^2 \\ v - uv = b^2 \end{cases}$
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
$u - v = a^2 - b^2$,
т. е. $u = v + a^2- b^2$. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно $v$:
$v^2 + (а^2 - b^2 - 1) v + b^2 = 0$,
откуда
$v_{1,2} = \frac{1}{2} (1-a^2 +b^2 \pm \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2)}$.
Вычисляем $u$:
$u_{1,2} = \frac{1}{2} (1+ a^2 - b^2 \pm \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2)}$.
(У $u$ и $v$, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)
Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:
$(1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2 = (1 - a^2 + b^2 - 2b)(1 - a^2 + b^2 + 2b) = [(1 - b)^2 - a^2][(1 + b)^2 - a^2] = (1 - b - a)(1 - b + a)(1+b-a)(1+b+a)$.
Так как $а > b > 0$ и $а + b < 1$, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.
Если перед корнем выбран знак плюс, то $u$ и $v$ положительны. Докажем, что $v > 0$. Имеем: $а^2- b^2 = (а - b)(а + b) < а - b < а - b + 2b = а + b < 1$. Следовательно, $1 - а^2 + b^2 > 0$ и, обращаясь к выражению для $v$ находим, что $v > 0$. Так как $а > b$, то очевидно, что и $u > 0$.
Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что $u$ и $v$ положительны. Так как $а > b$, то проверку достаточно провести для $v$, которое меньше $u$.
Неравенство
$1 -a^2 + b^2 > \sqrt {(1-a^2 + b^2)^2 - 4b^2}$
очевидно.
Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно $u$ и $v$ при условии, что и и v положительны, мы не нарушали равносильности.
Второй способ. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки $x = sin \phi, y = \sin \varphi$ где $0 < \phi < \pi/2, 0 < \varphi < \pi/2$. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что $0 < x < 1, 0 < y < 1$. Получим систему
$\begin{cases} \sin \phi \cos \varphi = a \\ \sin \varphi \cos \phi = b \end{cases}$.
Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем
$\begin{cases} \sin (\phi + \varphi) = a + b \\ \sin (\phi - \varphi) = a - b \end{cases}$
Так как по условию $0 < a + b < 1$ и $0 < а - b < 1$, а на $\phi$ и $\varphi$ были наложены ограничения $0 < \phi < \pi/2, 0 < \varphi < \pi/2$, то можно написать
$\begin{cases} \phi + \varphi = arcsin (a+b) \\ \phi - \varphi = arcsin (a-b) \end{cases}$ или $\begin{cases} \phi + \varphi = \pi - arcsin (a+b) \\ \phi - \varphi = arcsin (a-b) \end{cases}$.
Из первой системы получим
$\begin{cases} \phi_1 = \frac{1}{2} [arcsin (a+b) + arcsin (a-b)] \\ \varphi_1 = \frac{1}{2} [arcsin (a+b) - arcsin (a-b)] \end{cases}$.
Найдем $\sin \phi_1$ и $\sin \varphi_1$:
$\sin \phi_1 = \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} = \sqrt { \frac{1}{2} [1- \cos (\alpha + \beta)]} = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$,
где $\alpha = arcsin (a + b), \beta = arcsin (a - b)$. (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничении на $\phi$ и $\varphi$: $0 < \phi < \pi/2$, $0 < \varphi < \pi/2$). Продолжим преобразования:
$\sin \phi_1 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - \sqrt {[1 - (a+b)^2][1- (a-b)^2]} + (a+b)(a-b)} = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 - \sqrt{[1 - (a + b)^2 ][1 - (a - b )^2 ] }} $.
Нетрудно убедиться в том, что
$[1 - (a+b)^2][1 - (a-b)^2] = (1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2$.
Аналогично найдем $\sin \varphi_1$, а также $\sin \phi_2$ и $\sin \varphi_2$.
Ответ. Если $а > b > 0$, $а + b < 1$, то система имеет два решения:
$\begin{cases} x_1 = \frac{1}{\sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 - \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}} \\ y_1 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - a^2 + b^2 - \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}}\end{cases}$;
$\begin{cases} x_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 + a^2 - b^2 + \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}} \\ y_2 = \frac{1}{ \sqrt {2}} \sqrt {1 - a^2 + b^2 + \sqrt {(1 - a^2 + b^2)^2 - 4b^2}}\end{cases}$.
