Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2357
2019-03-23 
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {{x} + \sqrt {y}} - \sqrt {{x} - \sqrt {y}} = 1 \\ \sqrt {x^2 - y} + \sqrt {x^2 + y} = 1 \end{cases}$.
Решение:
Обозначим $\sqrt{у} = z$. Тогда система перепишется в виде
$\begin{cases} \sqrt {x+z} - \sqrt {x-z} = 1 \\ \sqrt {x^2 - z^2} + \sqrt {x^2 + z^2} = 1 \end{cases}$.
Дважды возведем первое уравнение в квадрат: $2 \sqrt {x^2 - z^2} = 2x - 1$, отсюда $\sqrt {x^2 - z^2} = x = - \frac{1}{2}$ ; далее
$4z^2 = 4x - 1$,
или
$z^2 = x - \frac{1}{4}$.
Заменив $\sqrt {x^2 - z^2}$ выражением $x - \frac{1}{2}$ - перепишем второе уравнение системы так:
$\sqrt {z^2 + x^2} = \frac{3}{2} - x$.
Из последнего уравнения находим $z^2$:
$z^2 = \frac{9}{4} - 3x$,
и сравниваем с выражением для $z^2$, полученным из первого уравнения:
$x - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - 3x$.
Отсюда $x = \frac{5}{8}$, а $y = z^2 = \frac{3}{8}$.
Проверяем найденные значения $x$ и $у$. Левая часть первого уравнения системы примет вид
$\sqrt { \frac{5}{8} + \sqrt { \frac{3}{8}}} - \sqrt { \frac{5}{8} - \sqrt { \frac{3}{8}}} = \frac {\sqrt {5 + \sqrt {24}} - \sqrt {5 - \sqrt {24}}}{\sqrt {8}} = \frac {\sqrt {\sqrt {5 + \sqrt {24}} - \sqrt {5 - \sqrt {24}}}^2}{\sqrt {8}} = \frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}} = 1$.
Левая часть второго уравнения вычисляется проще: $\sqrt { \frac{25}{64} - \frac{3}{8}} + \sqrt { \frac{25}{64} + \frac{3}{8}} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1$.
Ответ. $\left ( \frac{5}{8}, \frac{3}{8} \right )$.
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {{x} + \sqrt {y}} - \sqrt {{x} - \sqrt {y}} = 1 \\ \sqrt {x^2 - y} + \sqrt {x^2 + y} = 1 \end{cases}$.
Решение:
Обозначим $\sqrt{у} = z$. Тогда система перепишется в виде
$\begin{cases} \sqrt {x+z} - \sqrt {x-z} = 1 \\ \sqrt {x^2 - z^2} + \sqrt {x^2 + z^2} = 1 \end{cases}$.
Дважды возведем первое уравнение в квадрат: $2 \sqrt {x^2 - z^2} = 2x - 1$, отсюда $\sqrt {x^2 - z^2} = x = - \frac{1}{2}$ ; далее
$4z^2 = 4x - 1$,
или
$z^2 = x - \frac{1}{4}$.
Заменив $\sqrt {x^2 - z^2}$ выражением $x - \frac{1}{2}$ - перепишем второе уравнение системы так:
$\sqrt {z^2 + x^2} = \frac{3}{2} - x$.
Из последнего уравнения находим $z^2$:
$z^2 = \frac{9}{4} - 3x$,
и сравниваем с выражением для $z^2$, полученным из первого уравнения:
$x - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - 3x$.
Отсюда $x = \frac{5}{8}$, а $y = z^2 = \frac{3}{8}$.
Проверяем найденные значения $x$ и $у$. Левая часть первого уравнения системы примет вид
$\sqrt { \frac{5}{8} + \sqrt { \frac{3}{8}}} - \sqrt { \frac{5}{8} - \sqrt { \frac{3}{8}}} = \frac {\sqrt {5 + \sqrt {24}} - \sqrt {5 - \sqrt {24}}}{\sqrt {8}} = \frac {\sqrt {\sqrt {5 + \sqrt {24}} - \sqrt {5 - \sqrt {24}}}^2}{\sqrt {8}} = \frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}} = 1$.
Левая часть второго уравнения вычисляется проще: $\sqrt { \frac{25}{64} - \frac{3}{8}} + \sqrt { \frac{25}{64} + \frac{3}{8}} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1$.
Ответ. $\left ( \frac{5}{8}, \frac{3}{8} \right )$.
