Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2356
2019-03-23 
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {a-x} - \sqrt {y-x} = \sqrt {y} \\ \sqrt {b-x} - \sqrt {y-x} = \sqrt {y} \end{cases}$.
Решение:
Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:
$\begin{cases} \sqrt {a-x} + \sqrt{b-x} = 2 \sqrt {y} \\ \sqrt {a-x} - \sqrt {b - x} = 2 \sqrt {y-x} \end{cases}$. (1)
Возведем каждое из уравнений системы (1) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим
$\sqrt {(a-x)(b-x)} = x$,
т. е.
$(a-x)(b-x) = x^2$,
или
$(a+b)x = ab$.
Если $а+b = 0$, но $ab \neq 0$, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.
Если $а + b = 0$ и $аb = 0$, то $а = b = 0$. Написанная в начале решения система принимает вид
$\begin{cases} \sqrt {-x} = \sqrt {y} \\ 0 = \sqrt {y-x} \end{cases}$,
откуда $у = -x$ и $у = x$ одновременно, т. е. при $а = b = 0$ система имеет единственное решение $x = у = 0$.
Если $а + b \neq 0$, то $x = \frac {ab}{a+b}$.
Из уравнения $\sqrt {а - x} + \sqrt {b - x} = 2 \sqrt {y}$ находим $y$:
$\sqrt {a - \frac {ab}{a+b}} + \sqrt {b - \frac {ab}{a+b}} = 2 \sqrt {y}$,
т.е. $\frac {|a| + |b|}{\sqrt {a+b}} = 2 \sqrt {y}$, откуда $y = \frac {(|a| + |b|)^2}{4(a+b)}$
Так как $а + b$ стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и $а+b \neq 0$, то $a + b > 0$.
Преобразовывая систему, мы получили уравнение $\sqrt {(a-x)(b-x)} = x$. Следовательно, $x \geq 0$, т. е. $ab \geq 0$, а значит, и $а \geq 0$, $b \geq 0$. Теперь можно записать, что $y = \frac{a+b}{4}$.
Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид
$2a - |a-b| = a + b$.
Если $а \geq b$, то это уравнение удовлетворяется, а если $a < b$, то получим $a = b$, что противоречит предположению $а < b$.
Второе уравнение системы после подстановки дает равенство $2b + |a-b| = a+b$. При $а \geq b$ получаем тождество.
Ответ. Если $а \geq b \geq 0$ и $a + b > 0$, то $х = \frac {ab}{a+b}$, $y = \frac{a+b}{4}$; если $а = b = 0$, то $x = у = 0$.
Решить систему $\begin{cases} \sqrt {a-x} - \sqrt {y-x} = \sqrt {y} \\ \sqrt {b-x} - \sqrt {y-x} = \sqrt {y} \end{cases}$.
Решение:
Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:
$\begin{cases} \sqrt {a-x} + \sqrt{b-x} = 2 \sqrt {y} \\ \sqrt {a-x} - \sqrt {b - x} = 2 \sqrt {y-x} \end{cases}$. (1)
Возведем каждое из уравнений системы (1) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим
$\sqrt {(a-x)(b-x)} = x$,
т. е.
$(a-x)(b-x) = x^2$,
или
$(a+b)x = ab$.
Если $а+b = 0$, но $ab \neq 0$, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.
Если $а + b = 0$ и $аb = 0$, то $а = b = 0$. Написанная в начале решения система принимает вид
$\begin{cases} \sqrt {-x} = \sqrt {y} \\ 0 = \sqrt {y-x} \end{cases}$,
откуда $у = -x$ и $у = x$ одновременно, т. е. при $а = b = 0$ система имеет единственное решение $x = у = 0$.
Если $а + b \neq 0$, то $x = \frac {ab}{a+b}$.
Из уравнения $\sqrt {а - x} + \sqrt {b - x} = 2 \sqrt {y}$ находим $y$:
$\sqrt {a - \frac {ab}{a+b}} + \sqrt {b - \frac {ab}{a+b}} = 2 \sqrt {y}$,
т.е. $\frac {|a| + |b|}{\sqrt {a+b}} = 2 \sqrt {y}$, откуда $y = \frac {(|a| + |b|)^2}{4(a+b)}$
Так как $а + b$ стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и $а+b \neq 0$, то $a + b > 0$.
Преобразовывая систему, мы получили уравнение $\sqrt {(a-x)(b-x)} = x$. Следовательно, $x \geq 0$, т. е. $ab \geq 0$, а значит, и $а \geq 0$, $b \geq 0$. Теперь можно записать, что $y = \frac{a+b}{4}$.
Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид
$2a - |a-b| = a + b$.
Если $а \geq b$, то это уравнение удовлетворяется, а если $a < b$, то получим $a = b$, что противоречит предположению $а < b$.
Второе уравнение системы после подстановки дает равенство $2b + |a-b| = a+b$. При $а \geq b$ получаем тождество.
Ответ. Если $а \geq b \geq 0$ и $a + b > 0$, то $х = \frac {ab}{a+b}$, $y = \frac{a+b}{4}$; если $а = b = 0$, то $x = у = 0$.
