Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2355
2019-03-23 
Решить систему $7x - 11y = \sqrt [3]{x+y} = \sqrt [5]{x+9y}$.
Решение:
Пусть $7x - 11y = u$, т. е. $7(x + у) - 18y = u$, откуда $x + y = \frac {u + 18y}{7}$, a $x+9y = (x+y) + 8y = \frac {u + 74y}{7}$.
Приходим к системе
$\begin{cases} u = \sqrt [3]{\frac {u + 18 y}{7}} \\ u = \sqrt [5]{\frac {u + 74 y}{7}} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} 7u^3 - u = 18y \\ 7u^5 - u = 74y \end{cases}$.
Из последней системы исключим $у$:
$\frac {7u^5 - u}{18} = \frac {7u^5 - u}{74}$.
Если $u = 0$, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: $х_1 = у_1 = 0$.
Если $u \neq 0$, то получаем уравнение
$\frac {7u^2 - 1}{9} = \frac {7u^4 - 1}{37}$, т.е. $9u^4 - 37 u^2 + 4 = 0$,
откуда $u_1 =\frac{1}{3}, u_2 = - \frac{1}{3}, u_3 = 2, u_4 = -2$.
Для каждого значения $u$ составляем систему
$\begin{cases} 7x - 11y = u \\ x + y = u^3 \end{cases}$.
Делаем проверку.
Ответ. $(0, 0); \left ( \frac{10}{243}, - \frac{1}{243} \right ); \left (- \frac{10}{243}, \frac{1}{243} \right ); (5, 3); (-5, -3)$.
Решить систему $7x - 11y = \sqrt [3]{x+y} = \sqrt [5]{x+9y}$.
Решение:
Пусть $7x - 11y = u$, т. е. $7(x + у) - 18y = u$, откуда $x + y = \frac {u + 18y}{7}$, a $x+9y = (x+y) + 8y = \frac {u + 74y}{7}$.
Приходим к системе
$\begin{cases} u = \sqrt [3]{\frac {u + 18 y}{7}} \\ u = \sqrt [5]{\frac {u + 74 y}{7}} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} 7u^3 - u = 18y \\ 7u^5 - u = 74y \end{cases}$.
Из последней системы исключим $у$:
$\frac {7u^5 - u}{18} = \frac {7u^5 - u}{74}$.
Если $u = 0$, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: $х_1 = у_1 = 0$.
Если $u \neq 0$, то получаем уравнение
$\frac {7u^2 - 1}{9} = \frac {7u^4 - 1}{37}$, т.е. $9u^4 - 37 u^2 + 4 = 0$,
откуда $u_1 =\frac{1}{3}, u_2 = - \frac{1}{3}, u_3 = 2, u_4 = -2$.
Для каждого значения $u$ составляем систему
$\begin{cases} 7x - 11y = u \\ x + y = u^3 \end{cases}$.
Делаем проверку.
Ответ. $(0, 0); \left ( \frac{10}{243}, - \frac{1}{243} \right ); \left (- \frac{10}{243}, \frac{1}{243} \right ); (5, 3); (-5, -3)$.
