ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Найти одно решение системы

$\begin{cases} x_1 (x_2 + x_3 = \cdots + x_n) + 1 \cdot 2 (x_1 + x_2 + \cdots x_n)^2 = 9a^2 \\ x_2 (x_1 + x_3 = \cdots + x_n) + 2 \cdot 3 (x_1 + x_2 + \cdots x_n)^2 = 25a^2 \\ \cdots \cdots \\ x_n (x_1 + x_2 = \cdots + x_{n-1}) + n (n+1)(x_1 + x_2 + \cdots x_n)^2 = (2n+1)^2a^2 \end{cases}$.


Решение:


Обозначим $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = s$. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером $k$, примет вид

$x_k(s - x_k) + k(k+1) s^2 = (2k+1)^2a^2$

или

$x_k^2 - sx_k - к(k + 1) s^2 + (2k+1)^2 a^2 = 0$,

откуда

$x_k = \frac{1}{2} [s \pm (2k+1) \sqrt {s^2 - 4a^2}]$.

Возьмем для всех $x_k$ знак минус и сложим выражения для всех $х_к$. Получим уравнение относительно $s$

$s(n - 2) = (n + 2) n \sqrt {s^2 - 4a^2}$,

откуда

$s = \frac {2n (n+2) |a|}{\sqrt {n^2 (n+2)^2 - (n-2)^2}}$.

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для $s$ видно, что $s \geq 0$; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных $n$.

Остается подставить найденное значение $s$ в выражение для $x_k$ и сделать проверку.
Ответ. $x_к = \frac {n (n+2) - (n-2)(2k+1)}{\sqrt {n^2 (n+2)^2 - (n-2)^2}} |a|$.