Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2353
2019-03-23 
Найти все действительные решения системы
$\begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4 \\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8 \\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2 \end{cases}$.
Решение:
Сложив почленно первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему
$\begin{cases} x^3 = xyz + 2 \\ y^3 = xyz - 3 \\ z^3 = xyz + 3 \end{cases}$
Перемножим эти уравнения и обозначим $хyz = u$:
$u^3 = (u+2)(u^2-9)$,
а после упрощения
$2u^2 - 9u - 18 = 0$,
откуда $u_1 = 6, u_2 = - \frac{3}{2}$.
Для первого значения и находим $x^3 = 8, y^3 = 3, z^3 = 9$, аналогично поступаем с $u_2$. Производим проверку.
Ответ. $(2, \sqrt [3]{3}, \sqrt [3]{9}); \left ( \frac {1}{\sqrt [3]{2}}, - \sqrt [3]{ \frac{9}{2}} , \sqrt [3]{ \frac{3}{2}} \right )$.
Найти все действительные решения системы
$\begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4 \\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8 \\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2 \end{cases}$.
Решение:
Сложив почленно первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему
$\begin{cases} x^3 = xyz + 2 \\ y^3 = xyz - 3 \\ z^3 = xyz + 3 \end{cases}$
Перемножим эти уравнения и обозначим $хyz = u$:
$u^3 = (u+2)(u^2-9)$,
а после упрощения
$2u^2 - 9u - 18 = 0$,
откуда $u_1 = 6, u_2 = - \frac{3}{2}$.
Для первого значения и находим $x^3 = 8, y^3 = 3, z^3 = 9$, аналогично поступаем с $u_2$. Производим проверку.
Ответ. $(2, \sqrt [3]{3}, \sqrt [3]{9}); \left ( \frac {1}{\sqrt [3]{2}}, - \sqrt [3]{ \frac{9}{2}} , \sqrt [3]{ \frac{3}{2}} \right )$.
