ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Решить систему: $\begin{cases} x + y = 1 \\ xz + yt = 2 \\ xz^2 + yt^2 = 5 \\ xz^3 + yt^3 = 14 \end{cases}$.


Решение:


Умножим первое уравнение на $t$

$xt + yt = t$

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей $у$:

$\begin{cases} x (z - t) = 2 - t \\ xz (z - t) = 5 - 2t \\ xz^2 (z-t) = 14-5t \end{cases}$.

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых $t = 0$. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Повторим ту же операцию, которая была проделана относительно $t$, для $z$: умножим первое и второе уравнения последней системы на $z$ и вычтем их соответственно из второго и третьего. Тем самым мы исключим $x$:

$\begin{cases} 2z - tz = 5 -2t \\ 5z - 2tz = 14 - 5t \end{cases}$.

B этом случае $z = 0$ может дать посторонние решения.
Исключим из полученных уравнений $tz$ и выразим $z$ через $t$:

$z = 4 - t$, т. е. $z + t = 4$.

Второе уравнение последней системы можно записать в виде

$5 (z + t)-2tz = 14$,

откуда $tz = 3$. У системы

$\begin{cases} z + t = 4 \\ zt = 3 \end{cases}$

есть два решения:

$\begin{cases} z_1 = 3 \\ t_1 = 1 \end{cases}$; $\begin{cases} z_2 = 1 \\ t_2 = 3 \end{cases}$.

Из первоначальных первого и второго уравнений находим $х$ и $у$ и делаем проверку.
Система имеет два решения.
Ответ. $\left ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 3, 1 \right ); \left ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 3 \right )$.